11类RD Sharma解决方案–第11章三角方程–练习11.1

简介

本文是针对RD Sharma教材中第11类的第11章三角方程练习11.1题的解决方案。本章旨在帮助初学者理解和解决涉及三角方程的问题。

本解决方案将使用markdown格式呈现，以便清晰地展示解题过程和说明。下面是对练习11.1题的解答。

练习11.1

求解以下三角方程：

1. $2\cos^2x + \sin x - 1 = 0$
2. $\cos^2x - 3\sin x + 2 = 0$
3. $\sin^4x + 3\sin^2x + 2 = 0$

解答

问题1

原方程：$2\cos^2x + \sin x - 1 = 0$

我们可以将$\cos^2x$用$\sin^2x$替代，从而将该方程转换为一个纯粹的三角方程。

由于$\sin^2x + \cos^2x = 1$，我们可以得到$\cos^2x = 1 - \sin^2x$

将其代入原方程中，得到：$2(1-\sin^2x) + \sin x - 1 = 0$

化简方程，我们得到：$2\sin^2x - \sin x + 1 = 0$

该方程是一个二次方程，我们可以使用求根公式解之。

根据求根公式，我们有：$\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

将系数代入公式，得到：$\sin x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)}$

继续简化，我们有：$\sin x = \frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{4}$

由于$1-8$是负数，所以方程无实数解。

问题2

原方程：$\cos^2x - 3\sin x + 2 = 0$

这是一个关于$\sin x$的二次方程。我们可以使用开根公式解之。

使用开根公式，我们有：$\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

将系数代入公式，得到：$\sin x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}$

继续简化，我们有：$\sin x = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}$

化简方程，我们得到两个解：

• $\sin x = \frac{3 + 1}{2} = 2$
• $\sin x = \frac{3 - 1}{2} = 1$

由于正弦函数的值在-1到1之间，所以$\sin x = 2$没有实数解。因此，方程的解为$\sin x = 1$。

问题3

原方程：$\sin^4x + 3\sin^2x + 2 = 0$

我们可以将$\sin^2x$用$1-\cos^2x$替代，从而将该方程转换为一个纯粹的三角方程。

将$\sin^2x = 1-\cos^2x$代入原方程中，得到：$(1-\cos^2x)^2 + 3(1-\cos^2x) + 2 = 0$

化简方程，我们得到：$\cos^4x - 5\cos^2x + 4 = 0$

该方程是一个关于$\cos x$的二次方程。我们可以使用开根公式解之。

使用开根公式，我们有：$\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

将系数代入公式，得到：$\cos x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$

继续简化，我们有：$\cos x = \frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2}$

化简方程，我们得到两个解：

• $\cos x = \frac{5 + 3}{2} = 4$
• $\cos x = \frac{5 - 3}{2} = 1$

由于余弦函数的值在-1到1之间，所以$\cos x = 4$没有实数解。因此，方程的解为$\cos x = 1$。

结论

通过解答以上三个问题，我们可以看到三角方程的解题过程。使用适当的数学转换和公式应用，我们能够找到方程的解。在解决三角方程时，需要注意方程中的三角函数的定义域和值域，这将有助于我们确定方程的解是否存在。

希望本解决方案对于理解第11章三角方程有所帮助，同时也能为程序员提供一些关于数学求解的思路。