RD Sharma解决方案-第12类第11章 区分-练习11.1

简介

RD Sharma解决方案是印度著名数学家RD Sharma的一系列数学教材的解答书。其中第12类RD Sharma解决方案是指解决12年级学生的数学问题。

第11章 区分篇是12年级数学的一部分，该章节讲解的是数学中的区分、排列和组合问题。 练习11.1是该章节中的第一个练习，涉及到排列和组合的基本概念和计算方法。

本解决方案提供了练习11.1中所有问题的详细解答，包括题目意思、计算过程和答案。

用法

1. 打开本解决方案，找到练习11.1的相关内容；
2. 阅读题目，理解题意；
3. 查看解答，理解计算过程；
4. 验证答案是否正确。

示例

问题1

从9个球中选出3个球，求出选法的总数。

解答

该问题属于组合问题，因为球之间没有顺序之分。

根据组合公式，从n个不同元素中取出r个元素的组合数为 $C^r_n = \frac{n!}{r!(n-r)!}$。

所以，从9个球中选出3个球的选法总数为：$C^3_9 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = 84$。

因此，选法的总数为84。

问题2

在20个人中选出5个人做工作，如果其中一个人不能做工作，则求出可选方案的总数。

解答

我们采用计算总方案和不合法方案的方法来解决这个问题。

总方案数为20个人选出5个人的组合数：$C^5_{20} = \frac{20!}{5!(20-5)!} = 15504$。

然后，我们计算不合法方案数。如果一个人不能做工作，则从剩余的19个人中选5个人的组合数为：$C^5_{19} = \frac{19!}{5!(19-5)!} = 11628$。

不合法方案数为19个人中选5个人，再乘上4（因为4个人不能做工作），即：$4\times C^5_{19} = 4\times11628=46512$。

因此，可选方案的总数为：$15504-46512=-31008$。

问题3

有6个奖品和10个人，其中4个人特别幸运，每个特别幸运的人都获得一个奖品。求出分配奖品的总方案数。

解答

首先，我们将每个特别幸运的人和他的奖品配对，这个配对的方案一共有 $4!$ 种。

随后，我们将另外6个奖品分配给剩余的6个人，这个方案的总数为：$A^6_6=6!=720$。

因此，总方案数为 $4!\times A^6_6 = 4!\times6!=17280$。

问题4

有4个奖品和10个人，其中4个人特别幸运，每个特别幸运的人都获得一个奖品。如果没人能获得两个奖品，求出分配奖品的总方案数。

解答

首先，我们将每个特别幸运的人和他的奖品配对，这个配对的方案一共有 $4!$ 种。

然后，对于剩余的6个人，我们先给他们每个人一个奖品，这个方案的总数为：$A^6_6=6!=720$。

最后，我们要将另外的两个奖品分配给他们，这个方案的总数为：

$$C^2_6\times2! = \frac{6!}{2!(6-2)!} \times 2! = 180$$

其中，$C^2_6$ 是从6个人中取出2个人的组合数，$2!$ 是两个奖品的排列数。

因此，分配奖品的总方案数为 $4!\times720\times180=62,208,000$。