第 10 类 RD Sharma 解决方案 - 第 11 章构造 - 练习 11.2 |设置 2

简介

RD Sharma 解决方案是一套专门为印度高中生设计的数学教辅书，覆盖了高中数学各个方面的知识点，其内容丰富，清晰易懂，深受学生和老师的喜爱。本文将介绍其中的第 11 章构造中的练习 11.2 设置 2 的解决方案。

题目描述

在平面直角坐标系中，给定半轴长为 2 的椭圆 $E$，直线 $L$ 经过椭圆 $E$ 的右焦点，并截直线 $x = 6$ 于点 $A$，截 $y$ 轴于点 $B$。若 $\angle AOB = \alpha$，其中 $O$ 为坐标系原点，求 $\alpha$ 的值。

解题思路

首先我们需要找到椭圆 $E$ 的方程，根据半轴长为 2，可得：

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$

然后，我们可以根据右焦点以及椭圆的半轴长求出右焦坐标：

$F(\sqrt[]{4-1},0) = (\sqrt[]{3}, 0)$

接下来，我们可以根据直线 $L$ 经过椭圆 $E$ 的右焦点，将直线 $L$ 的方程表示出来：

$y = tan \theta (x - \sqrt[]{3})$

又因为直线 $L$ 截直线 $x=6$ 于点 $A$，截 $y$ 轴于点 $B$，因此可以得到点 $A$ 和点 $B$ 的坐标：

$A(6,6tan\theta + \sqrt[]{3})$，$B(0,2tan\theta)$

最后，我们可以根据向量叉积求解 $\alpha$ 的值：

$\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|sin\alpha$

代入上述式子的各个坐标值，我们最终可以得到 $\alpha$ 的值。

代码实现

1. 椭圆 E 方程：(x^2)/4 + (y^2)/1 = 1
2. 椭圆 E 的右焦点：F(sqrt(4-1),0) = (sqrt(3),0)
3. 直线 L 方程：y = tanθ(x - sqrt(3))
4. 点 A 坐标：A(6,6tanθ + sqrt(3))
5. 点 B 坐标：B(0,2tanθ)
6. α = asin((OA × OB) / (|OA| × |OB|))，其中：
   OA = <6 - sqrt(3), 6tanθ + sqrt(3)>, OB = <0, 2tanθ>

总结

本题需要运用多个数学知识点，如椭圆、直线方程、向量叉积等，因此需要对这些知识点有一定的掌握才能进行解题。同时，通过本题的求解过程，我们可以巩固数学知识点，并提高数学思维能力。