门| GATE CS 2019 |简体中文问题13

该题是关于图论里的“最小生成树”问题的。

问题描述

一个无向图 $G=(V,E)$，其每个边 $(u,v)$都有权重 $w(u,v)$，求 $G$ 的一个最小生成树。

解决方法

Kruskal 算法

Kruskal 算法是一种基于贪心的算法，其采用的策略为每次将边权最小的边加入生成树，直到加入 $n-1$ 条边为止。

Kruskal 算法涉及到的主要数据结构是并查集，用于维护不同连通块之间的关系。具体实现细节可以参见以下代码：

# 以下代码为 Python 实现 Kruskal 算法
def kruskal(G):
    parent = list(range(len(G)))
    # 辅助函数，用于寻找集合的根
    def find(x):
        if parent[x] == x:
            return x
        parent[x] = find(parent[x])
        return parent[x]
  
    G_edges = []
    for i in range(len(G)):
        for j in range(i+1, len(G)):
            if G[i][j] != 0:
                G_edges.append((G[i][j],i,j))
    G_edges.sort()
    mst = []
    for edge in G_edges:
        w, u, v = edge
        if find(u) != find(v):
            mst.append((u,v))
            parent[find(u)] = find(v)
        if len(mst) == len(G)-1:
            break
    return mst

Prim 算法

Prim 算法同样是基于贪心策略的算法，其与 Kruskal 算法关注点不同，Kruskal 算法关注边，Prim 算法关注点，具体实现细节可以参见以下代码：

# 以下代码为 Python 实现 Prim 算法
def prim(G):
    n = len(G)
    INF = float('inf')
    dist = [INF] * n
    dist[0] = 0
    mst = []
    visited = set()
    while len(visited) < n:
        u = min([(dist[i],i) for i in range(n) if i not in visited])[1]
        visited.add(u)
        for v in range(n):
            if G[u][v] and v not in visited and G[u][v] < dist[v]:
                dist[v] = G[u][v]
        if parent[u] != u:
            mst.append((parent[u], u))
        parent[u] = u
    return mst

总结

以上介绍了求解无向图最小生成树问题的两种基础算法 Kruskal 和 Prim。 Kruskal 算法主要采用贪心策略，关注边的权重；Prim 算法同样基于贪心策略，但关注的是节点的权重。

在实际应用场景中，可能会根据具体问题的需求，对算法的实现进行改进，以提高算法效率，例如使用 Prim 的变种算法即 Dijkstra 算法。