GATE-CS-2009 Question 39

题目描述

给定非空数组 $A$，包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, ..., a_n$。你需要找到一个元素，它在数组中出现次数超过 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 次。假设这样的元素存在。

例如，对于数组 $A = {3, 3, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 4}$，$4$ 是出现次数超过 $\lfloor \frac{9}{2} \rfloor = 4$ 次的元素。

你可以假设数组 $A$ 仅包含自然数（$1, 2, 3, ...$）。

解题思路

这道题目可以使用摩尔投票算法解决，摩尔投票算法是一种高效的算法，在一个数组或序列中查找出现次数超过一半的元素。

该算法的基本思路是：假设有一个 Major 元素，那么 Major 元素出现的次数一定大于其他元素出现次数之和。因此，我们可以用一个计数器 $count$ 记录当前元素的数量，如果下一个元素和当前元素相等，$count$ 就加 $1$，否则 $count$ 就减 $1$。当 $count$ 等于 $0$ 时，我们可以认为当前元素不是 Major 元素，因为当前元素的数量比之前的元素数量和还少。此时我们就可以把当前元素替换成数组中下一个元素，继续进行计数。

最终，剩下的元素中的 Major 元素就是我们要找的答案。

代码实现

以下是 Python 代码的实现：

def find_major_element(arr):
    count, element = 0, None
    for num in arr:
        if count == 0:
            element = num
        if num == element:
            count += 1
        else:
            count -= 1
    return element


# 测试
array = [3, 3, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 4]
print(find_major_element(array)) # 输出：4

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是数组的长度。