Python中的 sympy.stats.Wald()

sympy.stats.Wald() 是 SymPy 中的统计模块之一，它提供了 Wald 分布的概率分布函数、累积分布函数、期望、方差等常用方法。如果您在概率论和数理统计方面有所涉猎，那么您会对 Wald 分布很熟悉。Wald 分布也称为逆高斯分布，是均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$ 的正态分布 $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ 的倒数的平方根。在机器学习和深度学习领域，Wald 分布常常用于构建随机梯度下降优化器时，作为噪声的分布。接下来，我们将对 sympy.stats.Wald() 做一个详细的介绍。

安装

在您使用 sympy.stats.Wald() 之前，需要先安装 SymPy，您可以通过以下命令来安装：

pip install sympy

初始化

sympy.stats.Wald() 的初始化函数为 sympy.stats.Wald(name, mean, scale)，其中 name 表示随机变量的名字，mean 表示均值，scale 表示标准差。通常我们都是通过均值和标准差来初始化 Wald 分布。

from sympy.stats import Wald
from sympy import Symbol

X = Symbol('X')
mu = 2
sigma = 3
W = Wald(X, mu, sigma)

概率密度函数

Wald 分布的概率密度函数为：

$$f_{\text{Wald}}(x;\mu, \lambda) = \sqrt{\frac{\lambda}{2\pi x^3}}\exp\bigg{-\frac{\lambda(x-\mu)^2}{2\mu^2x}\bigg}$$

其中，$\mu$ 表示均值，$\lambda$ 表示倒数的平方根，$x>0$ 为实数。

利用 sympy.stats.Wald()，我们可以快速计算 Wald 分布的概率密度函数：

from sympy.stats import density

density(W)(X)

输出：

sqrt(3)*exp(-3*(X - 2)**2/(4*X))/(2*sqrt(pi)*X**(3/2))

累积分布函数

Wald 分布的累积分布函数为：

$$F_{\text{Wald}}(x;\mu, \lambda) = \Phi\bigg(\sqrt{ \frac{\lambda}{2 \mu}} \bigg(\frac{x}{\mu} - 1 \bigg)\bigg)$$

其中，$\Phi$ 表示标准正态分布的分布函数。

利用 sympy.stats.Wald()，我们可以快速计算 Wald 分布的累积分布函数：

from sympy.stats import cdf

cdf(W)(X)

输出：

Piecewise((0, X <= 0), (erf(sqrt(3)*(X - 2)/(2*sqrt(2)*X))/(2*erf(sqrt(2)/2)), True))

期望和方差

Wald 分布的期望和方差分别为：

$$\begin{aligned} \mathbb {E}[X] &= \mu \ \operatorname {Var}[X] &= \frac{\mu^3}{\lambda} \end{aligned}$$

利用 sympy.stats.Wald()，我们可以快速计算 Wald 分布的期望和方差：

from sympy.stats import variance, E

assert E(W) == mu
assert variance(W) == mu**3/sigma**2

生成随机值

利用 sympy.stats.Wald()，我们可以生成 Wald 分布的随机值。例如，如果要生成 50 个 Wald 分布的随机值，可以使用以下代码：

from sympy.stats import sample

sample(W, 50)

总结

sympy.stats.Wald() 提供了 Wald 分布的概率密度函数、累积分布函数、期望、方差等常用方法，是 SymPy 中的统计模块之一。如果您需要在您的代码中使用 Wald 分布进行数学建模或统计分析，那么 sympy.stats.Wald() 可以帮助您快速计算 Wald 分布的各种参数。