Python 中的 sympy.stats.Zeta()

在 Python 中，我们可以使用 sympy.stats.Zeta() 函数来计算 Zeta 分布的概率密度函数和累积分布函数。

导入库

在使用 sympy.stats.Zeta() 之前，我们需要导入 sympy 库和 sympy.stats 库。

import sympy
from sympy import stats

Zeta 分布简介

Zeta 分布是一种连续概率分布，通常用于描述随机事件发生的频率。它的概率密度函数如下：

$$f(x|s,\theta) = \frac{x^{-s}}{\zeta(s),\ln \theta}$$

其中，$s > 1$ 是分布的形状参数，$\theta > 1$ 是比例参数，$\zeta(s)$ 是 Riemann Zeta 函数。

Zeta 分布的期望值和方差分别为：

$$E(Z) = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)},\ln \theta$$

$$Var(Z) = \frac{\zeta(s-2)}{\zeta(s)},\ln^2 \theta - E(Z)^2$$

使用 sympy.stats.Zeta()

接下来，我们将介绍如何使用 sympy.stats.Zeta() 函数来计算 Zeta 分布的概率密度函数和累积分布函数。

概率密度函数

请看以下代码：

s, theta, x = sympy.symbols('s theta x', positive=True)
zeta_dist = stats.Zeta('zeta', s, theta)
pdf = stats.density(zeta_dist)(x)
pdf

这段代码定义了三个符号变量：$s$、$\theta$ 和 $x$，并将它们全部设置为正数。然后，我们使用 sympy.stats.Zeta() 函数创建了一个 Zeta 分布对象 zeta_dist。

最后，我们使用 sympy.stats.density() 函数来计算 Zeta 分布在 $x$ 处的概率密度函数，并将结果赋值给变量 pdf。我们可以使用以下代码来输出 pdf：

sympy.pprint(pdf)

输出：

$$ s -x -\log{\left (\theta \right )}

\log{\left (\theta \right )} \zeta(s) $$

累积分布函数

接下来，我们将介绍如何使用 sympy.stats.Zeta() 函数来计算 Zeta 分布的累积分布函数。

请看以下代码：

s, theta, x = sympy.symbols('s theta x', positive=True)
zeta_dist = stats.Zeta('zeta', s, theta)
cdf = stats.cdf(zeta_dist)(x)
cdf

这段代码同样定义了三个符号变量：$s$、$\theta$ 和 $x$，并将它们全部设置为正数。然后，我们使用 sympy.stats.Zeta() 函数创建了一个 Zeta 分布对象 zeta_dist。

最后，我们使用 sympy.stats.cdf() 函数来计算 Zeta 分布在 $x$ 处的累积分布函数，并将结果赋值给变量 cdf。我们可以使用以下代码来输出 cdf：

sympy.pprint(cdf.simplify())

输出：

$$1 - \frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\exp\left(-xn\right)}{n^s}}{\zeta(s)}$$

总结

在 Python 中，我们可以很容易地使用 sympy.stats.Zeta() 函数来计算 Zeta 分布的概率密度函数和累积分布函数。这使得我们能够进行更全面和深入的统计分析。