门 | GATE-CS-2003 | 问题18

这是GATE-CS-2003考试中的第18个问题。这个问题是一个有趣的谜题，它不仅需要你用计算机科学的知识，还需要你有一定的创造力和思维能力。

问题描述

你面前有一个由若干个门组成的房间。每个门都可以通向不同的地方，可以是其它房间或外部。每个门都有一个编号，用一个正整数表示。每个门还有一个开启和关闭的状态，你可以通过检查它们的状态来确定它们是否可用。

你需要设计一个数据结构和算法，来实现以下操作：

• 开启一些门。
• 关闭一些门。
• 检查两个门之间是否存在通路。
• 统计在当前状态下，门的连通性数量。

你需要编写一个程序来实现这个算法。

解决方案

这个问题可以使用图论中的联通性算法来解决。我们可以将每个门看作图中的节点，通路看作边。然后我们可以使用深度优先遍历或广度优先遍历算法来确定每个节点的连通性。

具体来说，我们可以使用邻接矩阵或邻接列表来表示这个关系图。邻接矩阵是一个方阵，行和列的数量相等，每个元素表示相应的节点之间是否有边。邻接列表是一个链表，每个节点对应一个门，链表中包含所有从该门出发的边。

对于每个门，我们需要存储以下信息：

• 门的编号
• 门的状态（开启或关闭）
• 门所在的连通性编号

用一个数组来存储所有门的信息，可以方便地通过索引来访问每个门。

下面是一个使用邻接矩阵来实现的代码示例：

class Room:
    def __init__(self, num, state):
        self.num = num
        self.state = state
        self.conn_id = None

class Graph:
    def __init__(self, n):
        self.adj = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
        self.rooms = [None] * n
        self.conn_count = 0
        self.size = n

    def add_room(self, num, state):
        self.rooms[num] = Room(num, state)

    def add_edge(self, i, j):
        self.adj[i][j] = 1
        self.adj[j][i] = 1

    def remove_edge(self, i, j):
        self.adj[i][j] = 0
        self.adj[j][i] = 0

    def dfs(self, i, conn_id):
        self.rooms[i].conn_id = conn_id
        for j in range(self.size):
            if self.adj[i][j] and not self.rooms[j].conn_id:
                self.dfs(j, conn_id)

    def update_conn_ids(self):
        for i in range(self.size):
            if not self.rooms[i].conn_id:
                self.conn_count += 1
                self.dfs(i, self.conn_count)

    def open_door(self, num):
        self.rooms[num].state = True

    def close_door(self, num):
        self.rooms[num].state = False

    def is_connected(self, i, j):
        return self.rooms[i].conn_id == self.rooms[j].conn_id

    def get_conn_count(self):
        self.conn_count = 0
        for i in range(self.size):
            self.rooms[i].conn_id = None
        self.update_conn_ids()
        return self.conn_count

在这个代码示例中，我们使用Room类来存储每个门的信息，包括门的编号、状态和所在的连通性编号。我们还使用Graph类来存储关系图，包括邻接矩阵、房间信息和当前的连通性数量。

我们使用dfs方法来确定每个门所在的连通性。这个方法会遍历当前门的所有邻居，如果邻居没有被访问过且存在通路，就将其加入当前连通性。我们使用update_conn_ids方法来更新所有门所在的连通性编号。

通过这个算法，我们可以高效地实现开门、关门、判断通路和统计连通性数量等操作。

总结

门问题是一个有趣的问题，它可以让我们更好地理解图论问题的解决方案。使用深度优先遍历或广度优先遍历算法可以高效地解决这个问题。我们可以使用邻接矩阵或邻接列表来表示图形，使用Room类和Graph类来存储数据。

这个问题可以帮助我们提高对数据结构和算法的理解，希望这个解决方案对你有所帮助。