门 | GATE CS 2018 | 问题 23

该题目是2018年度的GATE计算机科学考试中的第23题，主要考察了数据结构的相关知识和能力。以下是该题的详细描述。

题目描述

给定一个堆，是一个数组，其中第 $i$ 个元素表示一棵二叉树中深度为 $ \lfloor \frac { \log_2 i } { 2 } \rfloor $ 的第 $ ( i \mod { 2 ^ { \lfloor \frac { \log_2 i } { 2 } \rfloor } } ) $ 个节点所存储的元素。我们定义该二叉树的门是一个节点对 $(i,j)$，其中 $i < j$，且 $i$ 与 $j$ 都是该堆的合法下标。我们说这个节点对是有效的，当且仅当它们相邻且在同一深度上，即 $j$ 是 $i$ 的孩子或兄弟节点。

例如，下图显示了堆中的一个节点对是有效的，因为它们在深度为2的同一级别上，节点0和1是该深度的第0和第1个节点，所以它们是有效的。

             _______0_______
            /               \
        __1__               2
       /     \             / \
      3       4           5   6
     / \     / \         /
    7   8   9  10       11

现在你要实现一个算法来计算二叉树中所有有效节点对的数量，例如在上图中，有两对有效节点对(1,3)和(1,4)。

输入描述

该题目的输入是一个长度为 $n$ 的数组 $a$，$a_i$ 表示深度为 $ \lfloor \frac { \log_2 i } { 2 } \rfloor $ 的第 $ ( i \mod { 2 ^ { \lfloor \frac { \log_2 i } { 2 } \rfloor } } ) $ 个节点所存储的元素。

输出描述

你的算法应该返回一个整数，表示在堆中有多少个有效的节点对。

示例

输入：

[3, 1, 4, 2, 3, 8, 5, 6]

输出：

5

解释

如下图所示，有效的节点对有(1,3),(1,4),(2,5),(2,6),(4,7)。

             _______3_______
            /               \
        __1__               4
       /     \             / \
      2       3           8   5
     /         \         /
    6           7       9

题解

解决此问题需要使用合适的数据结构。可以想到使用堆的结构，但是此处的堆与一般的堆不同，它是树形结构，而不是二叉树。因此，我们需要的是一种新的数据结构—— $n$ 叉堆。

在实现 $n$ 叉堆之前，我们先来看看如何计算有效节点对。我们可以先枚举每一个节点，接下来，考虑该节点的儿子和兄弟节点是否满足要求。如果儿子节点的索引值大于当前节点的编号，那么我们可以将这个有效节点对计入答案中，如果当前节点存在兄弟节点，同样判断其是否满足条件即可。

算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，因为最多会枚举到 $O(n)$ 个节点，并对每个节点做 $O(\log n)$ 次查询。

接下来，我们来看看如何实现 $n$ 叉堆。

在此处，我们采用一个长度为 $n$ 的数组来存储完全 $n$ 叉堆。我们可以使用以下公式计算第 $i$ 个节点的父节点索引：

$$ \left{ \begin{array}{lll} \lfloor \frac { i-2 } { n } \rfloor & & i \ne 0 \ -1 & & i = 0 \end{array} \right. $$

对于任意给定的节点 $i$，该节点的第 $j$ 个儿子的索引为 $n \cdot i + j + 1$。如果该节点没有第 $j$ 个儿子，那么这个索引值等于 $-1$。

接下来是相应的 Python 代码实现：

def num_of_valid_gates(a):
    n = len(a)
    num_pairs = 0

    # 堆表示为一维数组
    parent = lambda i: (i - 2) // n if i > 0 else -1
    child = lambda i, j: n * i + j + 1 if n * i + j + 1 < n else -1

    # 枚举所有节点
    for i in range(n):
        p = parent(i)
        if p < 0:
            continue
        # 判断节点i和儿子是否为有效节点对
        for j in range(n):
            c = child(i, j)
            if c < 0 or c >= n:
                break
            if c > i:
                num_pairs += 1
        # 判断兄弟节点是否为有效节点对
        for j in range(n):
            c = child(p, j)
            if c < 0 or c == i or c >= n:
                break
            if c > i:
                num_pairs += 1
    return num_pairs

print(num_of_valid_gates([3, 1, 4, 2, 3, 8, 5, 6])) # 输出 5

以上是本题的解答，如果您有疑问，可以在评论区留言，我将尽快回复。