介绍GATE CS 2018题目23

这是一道关于矩阵和动态规划的算法题，需要在矩阵中找到一条路径，使得路径上的数字最大化，并计算该最大值。以下是这道题的详细说明和解题思路。

题目描述

给定一个 n × n 正方形矩阵，矩阵中的每个元素均为正整数。你从矩阵的左上角出发，每次只能向右或向下移动一步。你要找到一条从左上角通往右下角的路径，使得路径上的数字之和最大化。输出路径上数字之和的最大值。

输入格式

第一行包含一个整数 n，表示矩阵大小。

接下来 n 行，每行 n 个整数，表示矩阵中的元素。

输出格式

一个整数，表示路径上数字之和的最大值。

示例

输入:

4
2 3 4 5
1 2 3 4
4 5 6 7
1 2 3 4

输出:

24

解题思路

这道题可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个 dp 数组，其中 dp[i][j] 表示从左上角到 i,j 的路径上数字之和的最大值。

因为每次只能向右或向下移动一步，所以从左上角到当前位置 i,j 的路径只有两种情况：

1. 从左边的位置 i,j-1 移动过来。

2. 从上边的位置 i-1,j 移动过来。

因此，我们可以得到以下的状态转移方程：

$$ dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j]) + matrix[i][j] $$

其中 matrix[i][j] 表示矩阵中第 i 行第 j 列的数值。最终，dp[n-1][n-1] 就是整个矩阵中从左上角到右下角的路径上数字之和的最大值。

代码实现

def max_sum(matrix):
    n = len(matrix)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]  # 定义 dp 数组

    # 初始化 dp 数组
    dp[0][0] = matrix[0][0]
    for i in range(1, n):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0]
        dp[0][i] = dp[0][i-1] + matrix[0][i]

    # 动态规划计算 dp 数组
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j]) + matrix[i][j]

    return dp[n-1][n-1]  # 返回最终结果

总结

本题是一道经典的动态规划问题，通过状态转移方程和动态规划计算，可以在时间复杂度为 O(n^2) 的情况下求出最优解。同时，通过熟悉和掌握动态规划算法，可以更好地理解算法设计和应用，加强程序员的算法思维能力。