门| GATE CS Mock 2018 |问题 23

这是Gate CS 2018 模拟考试中的第23道题目，需要你完成一道题目。

问题描述

你需要实现一个函数 countTrees(n)，用于计算每个节点有n个节点的二叉搜索树的数量。

例如，当n = 3时，可能的二叉搜索树数量为5。

    1         3     3      2      1
     \       /     /      / \      \
      3     2     1      1   3      2
     /     /       \                 \
    2     1         2                 3

输入格式

• 整数n，表示二叉搜索树的节点个数（1 <= n <= 1000）

输出格式

• 整数，表示可能的二叉搜索树的数量。

代码示例

下面是一份Python代码的示例：

def count_trees(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return 1
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i):
            dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1]
    return dp[n]

解题思路

这是一道运用动态规划算法求解的问题。

当我们发现题目时二叉搜索树的数量，通常都是使用动态规划算法求解的。我们以 $dp[i]$ 表示有 i 个节点的二叉搜索树的数量。

接下来我们需要找到状态转移方程。当 i = 0 或者 i = 1 时，我们可以得到 $dp[i] = 1$，因为一个空树或只有一个节点的树只能有一种情况。

当 i > 1 时，我们可以利用组合公式计算。例如考虑 $dp[3]$，以1为根节点，其左边只有空节点，右边有两个节点，而这两个节点可以互相变换，因此需要乘以2。以2为根节点同理，有两个节点的左子树和一个节点的右子树，需要乘以 2。以3为根节点同理。因此，我们得到了状态转移方程：

$$dp[i] = \sum_{j=0}^{i-1} dp[j] * dp[i-j-1]$$

最后，我们令 $dp[0] = 1$，然后计算出 $dp[n]$ 即可。

时间复杂度

如果使用动态规划算法求解有 n 个节点的二叉搜索树的数量，则时间复杂度为 $O(n^2)$。