第 11 类 RD Sharma 解决方案 – 第 33 章概率 – 练习 33.2

RD Sharma 是一套著名的印度数学教材，被印度数学家广泛使用。其中第 11 类是高中数学课程，包含了多个数学分支，其中就包括概率。

该教材第 33 章概率中，练习 33.2 主要包括两个部分：基本概念和复合事件。基本概念中包括样本空间、事件、不可能事件、必然事件、互斥事件、对立事件等概念；复合事件中又可以分为和事件、积事件和差事件。

程序员们若需要处理概率相关问题时，可以参考该教材的解决方案，进一步了解概率的基本概念和复合事件的相关知识。同时也可以将该教材的解决方案与相关代码进行结合，实现概率计算的相关功能。

以下是一道样例题，展示了基本概念和复合事件的应用。

练习 33.2 题目

在一次考试中，甲、乙两位学生的成绩为 A、B、C、D、E 五个等级中的一个，已知甲、乙两位学生的成绩相同的概率为 0.2，试求：

1.甲、乙两位学生的成绩分别为 A 和 B 的概率；

2.甲、乙两位学生的成绩中至少有一人获得 A 等级的概率；

3.甲、乙两位学生的成绩中恰有一人获得 A 等级的概率；

4.甲、乙两位学生的成绩中恰有一人获得 A 等级且另一人获得 E 等级的概率。

练习 33.2 解决方案

基本概念

1. 样本空间

假设甲学生成绩为 A、B、C、D、E，乙学生成绩也为 A、B、C、D、E，那么甲、乙两位学生的成绩组合可以表示为二元组 (a, b)，其中 a、b 属于样本空间 S={(A,A),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,A),(B,B),(B,C),(B,D),(B,E),(C,A),(C,B),(C,C),(C,D),(C,E),(D,A),(D,B),(D,C),(D,D),(D,E),(E,A),(E,B),(E,C),(E,D),(E,E)}。

2. 事件

如果 (a,b) 属于样本空间 S 且 a=b，则称 (a,b) 为甲、乙两位学生的成绩相同事件 E1；否则称 (a,b) 为甲、乙两位学生的成绩不同事件 E2。同时，事件 E1 和事件 E2 为互斥事件。

3. 概率

设事件 A 发生的样本点数为 n(A)，样本点总数为 n(S)，则事件 A 的概率为 P(A)=n(A)/n(S)。

复合事件

1. 和事件

如果事件 A 和事件 B 同时发生，则称事件 A 和事件 B 的交集为事件 A 与事件 B 的和事件。在此基础上，可以得到以下公式：

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

2. 积事件

如果事件 A 和事件 B 同时发生，则称事件 A 和事件 B 的交集为事件 A 与事件 B 的积事件。在此基础上，可以得到以下公式：

P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

其中，P(B|A) 表示在 A 发生的条件下，B 发生的概率；P(A|B) 表示在 B 发生的条件下，A 发生的概率。

3. 差事件

如果事件 A 发生，则事件 B 不发生，则称事件 A 与事件 B 的差集为事件 A 与事件 B 的差事件。在此基础上，可以得到以下公式：

P(A-B) = P(A)-P(A∩B)

问题求解

1. 甲、乙两位学生的成绩分别为 A 和 B 的概率。

该事件可表示为 (A,B) 事件，因此其概率 P(A,B) 可以通过样本点数为 1 的事件数目除以样本点总数 25 得到。即 P(A,B) = 2/25 = 0.08。

2. 甲、乙两位学生的成绩中至少有一人获得 A 等级的概率。

由于甲、乙两位学生的成绩相同的概率为 0.2，因此两位学生的成绩不同的概率为 0.8。同时，当两位学生成绩不同时，至少有一人获得 A 等级的概率为 1-3/53/5=11/25。所以甲、乙两位学生的成绩中至少有一人获得 A 等级的概率为 0.211/25+0.8*2/5=0.36。

3. 甲、乙两位学生的成绩中恰有一人获得 A 等级的概率。

该事件可表示为 {(A,B),(B,A)} 事件，因此其概率 P{(A,B),(B,A)} 可以通过样本点数为 2 的事件数目除以样本点总数 25 得到。即 P{(A,B),(B,A)} = 2/25 = 0.08。

4. 甲、乙两位学生的成绩中恰有一人获得 A 等级且另一人获得 E 等级的概率。

假设甲学生成绩为 A，乙学生成绩为 E，则恰有一人获得 A 等级且另一人获得 E 等级的事件为 {(A,E),(E,A)}，其概率为 2/25。当两位学生成绩相同时，恰有一人获得 A 等级且另一人获得 E 等级的概率为 0；当两位学生成绩不同时，恰有一人获得 A 等级且另一人获得 E 等级的概率为 22/53/5=12/25。因此，甲、乙两位学生的成绩中恰有一人获得 A 等级且另一人获得 E 等级的概率为 0.20+0.812/25=0.384。