门| GATE-CS-2006 |问题29

这是GATE计算机科学考试2006年的第29个问题，涉及到数据结构和算法的知识点。如果你是一位程序员或正在学习编程，那么了解这个问题的解决方法会对你有所帮助。

题目描述

你需要写一个算法，用于计算在一个有向图中是否存在一条从一个给定的起始节点到达一个给定的目标节点的路径。如果存在这样的一条路径，算法需要返回其中长度最短的路径的长度，否则需要返回 -1。

数据结构

我们可以使用一个Map<Node, List<Node>>来表示有向图中节点之间的关系，其中Node表示一个节点，List<Node>表示从这个节点可以到达的其他节点。我们也可以使用一个Map<Node, Map<Node, Integer>>来表示节点之间的权值关系，其中Node表示一个节点，Map<Node, Integer>表示从这个节点到其他节点的权值，如果不存在直接相连的边，权值就为null或者一个特定值。

解决方法

我们可以使用广度优先搜索(BFS)或者Dijkstra算法来解决这个问题，因为它们都能够找到起点到终点的最短路径。

广度优先搜索

广度优先搜索是一种遍历图或数的算法，它从源节点开始，遍历所有与源节点直接相连的节点，在此基础上再遍历与这些节点直接相连的节点，直到找到目标节点或全部节点都被遍历过为止。

在搜索过程中，我们需要记录下每个节点的深度和父节点，以便后续可以回溯路径。如果我们找到了目标节点，则我们可以利用这些信息回溯路径，并计算路径的长度。

以下是BFS搜索函数的伪代码：

public static int bfs(Node start, Node target, Map<Node, List<Node>> graph) {
    if (start == target) { //特判起点等于终点情况
        return 0;
    }

    Queue<Node> queue = new LinkedList<>(); //队列用于存储已访问但未找到目标的节点
    queue.offer(start);
    Map<Node, Integer> depth = new HashMap<>(); //深度用于记录每个节点到起始节点的距离
    depth.put(start, 0);

    while (!queue.isEmpty()) {
        Node current = queue.poll();
        int currentDepth = depth.get(current);

        for (Node neighbor : graph.get(current)) { //遍历当前节点的邻居节点
            if (!depth.containsKey(neighbor)) { //如果邻居节点未被访问过，则加入队列并更新深度和父节点
                depth.put(neighbor, currentDepth + 1);
                if (neighbor == target) { //如果找到目标节点，直接返回路径长度
                    return currentDepth + 1;
                }
                queue.offer(neighbor);
            }
        }
    }

    return -1; //如果没有找到目标节点，则返回 -1
}

Dijkstra算法

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题。算法的基本思想是从起始节点开始，依次找到所有与它直接相连的节点，并计算从起始节点到这些节点的距离，然后从这些节点中选择最短距离的节点，把它加入S集合中，并使用它来更新其他节点与起始节点之间的距离。重复这个过程，直到所有节点都被加入S集合为止。

在算法执行过程中，我们需要使用一个优先队列来存储出边信息，以便能够优先选择离起始节点距离近的节点。我们也需要使用一个距离数组来记录每个节点与起始节点之间的最短距离，以便后续可以回溯路径。

以下是Dijkstra算法函数的伪代码：

public static int dijkstra(Node start, Node target, Map<Node, Map<Node, Integer>> graph) {
    if (start == target) { //特判起点等于终点情况
        return 0;
    }

    PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(node -> distance[node.index]));
    pq.offer(start);
    distance[start.index] = 0;

    while (!pq.isEmpty()) {
        Node current = pq.poll();

        if (current == target) { //如果找到目标节点，直接返回路径长度
            return distance[current.index];
        }

        for (Map.Entry<Node, Integer> entry : graph.get(current).entrySet()) { //遍历当前节点的邻居节点
            Node neighbor = entry.getKey();
            int weight = entry.getValue();
            int newDistance = distance[current.index] + weight;

            if (weight != null && newDistance < distance[neighbor.index]) { //如果找到更短的路径，则更新距离数组和堆
                distance[neighbor.index] = newDistance;
                parent[neighbor.index] = current;
                pq.offer(neighbor);
            }
        }
    }

    return -1; //如果没有找到目标节点，则返回 -1
}

参考资料

• Breadth First Search
• Dijkstra's algorithm