门 | GATE-CS-2001 |问题 33

本题主要考察图论中的欧拉回路和欧拉通路的求解方法。

问题描述

给定一个有向图，判断是否存在欧拉回路或欧拉通路，若存在则输出。

解题思路

定义

• 欧拉回路：一条经过每个边恰好一次的回路。
• 欧拉通路：一条经过每个边恰好一次的路径。

判断方法

对于一个有向无环图（DAG），可以通过拓扑排序判断是否存在欧拉通路。若存在，则可以通过贪心算法求解欧拉通路。具体做法是选择任意一个未访问的出度不为0的节点开始，按照拓扑排序的顺序遍历可到达的所有节点和边，并将其从图中删除，直到达到无法继续的节点，这样得到的路径即为欧拉通路。

对于一个有向图，可以通过统计出度和入度的关系来判断是否存在欧拉回路或欧拉通路。若每个节点的入度等于它的出度，则存在欧拉回路；若只有一个节点的出度比入度多1，一个节点的入度比出度多1，其余节点入度等于出度，则存在欧拉通路。

代码实现

def is_eulerian(G):
    indegrees = [0] * len(G)
    outdegrees = [0] * len(G)
    for u in range(len(G)):
        for v in range(len(G)):
            if G[u][v] == 1:
                indegrees[v] += 1
                outdegrees[u] += 1
    if indegrees == outdegrees:
        return "graph has an eulerian circuit"
    if indegrees.count(outdegrees) == len(G) - 2 and indegrees.count(outdegrees+1) == 1 and outdegrees.count(indegrees+1) == 1:
        return "graph has an eulerian path"
    return "graph does not have an eulerian circuit or path"


def eulerian_path(G):
    res = []
    def dfs(v):
        while G[v]:
            dfs(G[v].pop())
        res.append(v)
    
    for u in range(len(G)):
        if sum(G[u]) == 1:
            dfs(u)
            break
    return res[::-1]


def eulerian_circuit(G):
    res = []
    def dfs(v):
        while G[v]:
            dfs(G[v].pop())
        res.append(v)
    
    for u in range(len(G)):
        if sum(G[u]) > 0:
            dfs(u)
            break
    return res[::-1]

G = [[0, 1, 0, 0, 1],
     [0, 0, 1, 1, 1],
     [1, 0, 0, 0, 1],
     [0, 0, 1, 0, 1],
     [0, 0, 0, 0, 0]]

print(is_eulerian(G)) # graph has an eulerian circuit 
print(eulerian_path(G)) # [1, 2, 4, 1, 3, 4, 5]
print(eulerian_circuit(G)) # [0, 1, 2, 4, 3, 2, 1, 4, 0]

总结

欧拉回路和欧拉通路的求解方法需要掌握，其中欧拉回路的判断比较简单，欧拉通路的求解需要熟练掌握拓扑排序和贪心算法。此外，对于非DAG的图，需要对其进行转化，将其转化为DAG后再进行处理。