门| GATE CS 2021 |设置1 |问题29

本题需要考虑给定一棵二叉树，判断其是否是完全二叉树。

完全二叉树的定义

完全二叉树是一种特殊的二叉树，如果将一个二叉树从上往下、从左往右按照顺序编号，那么编号为$i$的节点在完全二叉树中的位置应当是在编号为$2i$和$2i+1$的节点的左右两侧。

完全二叉树的另一个定义是，对于深度为$k$的二叉树，除了第$k$层之外，其它层的节点数都应该是最大值。

实现思路

对于给定的二叉树，我们可以考虑使用层序遍历来判断是否为完全二叉树。

对于一棵完全二叉树，假设当前层深度为$k$，则当前层节点的编号范围应该是$[2^{k-1}, 2^k-1]$。如果我们在进行层序遍历时，发现某一层不满足上述编号范围的限制，则说明该二叉树不是完全二叉树。

具体来说，我们可以使用一个队列，先将根节点入队。对于每个节点，我们将其左右子节点依次入队，并记录它们的编号。如果某一层的节点数不满足最大值，则说明该二叉树不是完全二叉树。

代码实现

下面给出一个Python实现的样例代码。其中，tree表示给定的二叉树的根节点。

# 定义一个队列
queue = [(tree, 1)]
# 定义当前节点的编号
cur_num = 1
# 定义当前层的节点数
cur_count = 0
# 定义上一层的节点数
pre_count = 1

while queue:
    node, num = queue.pop(0)
    
    # 判断当前节点的编号是否合法
    if num != cur_num:
        return False
    
    cur_count += 1
    # 将当前节点的左右子节点入队
    if node.left:
        queue.append((node.left, num * 2))
    if node.right:
        queue.append((node.right, num * 2 + 1))
    
    # 如果当前层的节点数达到最大值
    if cur_count == 2 ** int(log2(cur_num) + 1) - 1:
        pre_count = cur_count
        cur_count = 0
        cur_num = num + 1
    
    # 如果当前节点是最后一层的节点
    if not (node.left and node.right):
        # 如果当前层的节点数不满足最大值，则不是完全二叉树
        if pre_count != 2 ** int(log2(num)+1)-1:
            return False
    
    cur_num += 1

return True

在上述代码中，我们使用了一个queue队列来保存二叉树节点，并记录其在树中的编号。我们还定义了两个变量cur_count和pre_count来表示当前层和上一层的节点数。采用该方法，可以在$O(n)$的时间内判断给定的二叉树是否为完全二叉树。