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该问题是GATE-CS-2003考试的第26道问题，考察了程序员的算法和数据结构知识。

问题描述

有两个有序数组A和B，大小相同。请写一个函数来找到这两个数组的中位数。中位数是两个数组中所有数字的中间值。如果中位数不能是整数，则返回中间数字的平均值。例如，对于数组A = {1, 3, 5, 7, 9}和B = {2, 4, 6, 8, 10}，中位数为5.5。

解决方案

这是一个比较难的问题，需要考虑多种情况。以下是较为简单和易于理解的一种解决方案：

1. 把A和B合并成一个数组C，然后对C进行排序。
2. 如果C的长度是偶数，则中位数是C[(n-1)/2]和C[n/2]的平均值，其中n是C的长度。
3. 如果C的长度是奇数，则中位数是C[n/2]。

这个算法的时间复杂度是O(n log n)，其中n是两个数组的长度之和。这是因为合并两个有序数组的时间复杂度是O(n)，排序一个长度为n的数组的时间复杂度是O(n log n)。

更优的解决方案

上述方法的时间复杂度比较高，将会导致性能瓶颈。以下是效率更高的一种解决方案：

1. 定义两个指针i和j，分别指向数组A和数组B的中间位置。这两个位置的中位数是所有数字的中位数。
2. 比较A[i]和B[j]。如果A[i] < B[j]，则中位数在A[i+1:end]和B[0:j]中（end是数组A的长度）。否则，中位数在A[0:i]和B[j+1:end]中。
3. 重复步骤2，直到找到中位数。

这个算法的时间复杂度是O(log n)，其中n是两个数组的长度之和。这是因为每次可以排除一半的元素。由于i和j开始时指向数组的中间位置，因此算法的复杂度是log级别的。

代码示例

以下是实现比较高效的解决方案的Python代码示例，其中A和B是两个有序数组：

def findMedianSortedArrays(A, B):
    m, n = len(A), len(B)
    if m > n:
        A, B, m, n = B, A, n, m
    imin, imax, half_len = 0, m, (m + n + 1) // 2
    while imin <= imax:
        i = (imin + imax) // 2
        j = half_len - i
        if i < m and B[j-1] > A[i]:
            imin = i + 1
        elif i > 0 and A[i-1] > B[j]:
            imax = i - 1
        else:
            if i == 0: max_of_left = B[j-1]
            elif j == 0: max_of_left = A[i-1]
            else: max_of_left = max(A[i-1], B[j-1])
            if (m + n) % 2 == 1:
                return max_of_left
            if i == m: min_of_right = B[j]
            elif j == n: min_of_right = A[i]
            else: min_of_right = min(A[i], B[j])
            return (max_of_left + min_of_right) / 2.0

代码说明：

• 第1行：定义函数。
• 第2行：获取两个数组的长度m和n，确保A的长度小于B的长度。
• 第3至4行：设置imin、imax和half_len分别为0、m和(m + n + 1) // 2，其中//表示整数除法。
• 第5至13行：进入主循环并循环，直到imin > imax。其中i是A中元素的下标。
• 第6行：计算j = half_len - i，即B中元素的下标。
• 第7至8行：如果B[j-1] > A[i]，则imin = i + 1。这意味着i太小，需要增加以获得更大的max_of_left。重复此步骤，直到找到满足A[i-1] <= B[j]的i。
• 第9至10行：如果A[i-1] > B[j]，则imax = i - 1。这意味着i太大，需要减小以获得更小的max_of_left。重复此步骤，直到找到满足B[j-1] <= A[i]的i。
• 第11至19行：此时，i是正确的索引，并且可以使用公式4.4计算中位数的值。其中：
  • 如果i = 0，表示当前A中的元素比B中的元素都大，因此中位数的左边是B[j-1]，右边是所有元素除了B[j-1]和A[0]。因此，max_of_left设置为B[j-1]。
  • 如果j = 0，表示当前B中的元素比A中的元素都大，因此中位数的左边是A[i-1]，右边是所有元素除了A[i-1]和B[0]。因此，max_of_left设置为A[i-1]。
  • 否则，中位数的左边是max(A[i-1], B[j-1])。
  • 如果(m + n)是奇数，则中位数是max_of_left。
  • 否则，还需要计算中位数的右边。检查i == m和j == n的情况，并使用B[j]和A[i]获取min_of_right。中位数是(max_of_left + min_of_right) / 2.0。

总结

这是一道经典的问题，通常作为求职面试中算法和数据结构的一部分。在实现解决方案时，需要考虑多种情况并且代码需要易于阅读和理解。对于高效的解决方案，需要使用二分法和数字理论。