门(GATE-IT-2004) 第42题

该题为GATE-IT-2004考试中的第42题。本题难度较大，需要掌握基础的数据结构和算法知识。以下是该题的详细介绍：

题目描述

给定一个由0和1组成的二进制字符串S和一个整数N，计算S的所有子串中，恰好有N个1的子串的数量。例如，如果N=2，S="0100010"，则恰好有两个1的子串为"100"和"0010"，因此答案为2。

输入格式

第一行包含一个整数T，表示共有T组测试数据。接下来的T行中，每行包含一个二进制字符串S和一个整数N，以空格分隔。

输出格式

对于每组测试数据，输出一个整数，表示S的所有子串中，恰好有N个1的子串的数量。

输入样例

2
0100010 2
1011011 3

输出样例

2
4

解题思路

子串问题考虑使用前缀和，统计每个子串中1的数量。具体来说，我们可以先计算出S中0和1的前缀和，即一个长度为|S|+1的数组P，其中P[i]表示S中前i个字符中1的数量。那么如果我们想要查询S的子串[l, r]中1的数量，只需计算P[r]-P[l-1]即可。这样可以在O(1)时间内解决任意长度的子串的1的数量。

根据这个思路，我们可以用两个指针i和j来遍历S的所有子串。具体来说，指针j从左到右遍历，累计前缀和，指针i则在指针j的每个位置上向右移动，计算当前子串中1的数量。如果该数量等于N，则说明找到了一个符合条件的子串。我们还需要利用一个哈希表dict来记忆之前出现过的前缀和的数量。这样可以避免重复计算和降低时间复杂度。

代码示例

def count_substrings(s, n):
    count = 0
    dict = {0: 1}
    p = [0] * (len(s) + 1)
    for i in range(1, len(s) + 1):
        p[i] = p[i - 1] + int(s[i - 1])
        if p[i] - n in dict:
            count += dict[p[i] - n]
        if p[i] in dict:
            dict[p[i]] += 1
        else:
            dict[p[i]] = 1
    return count

t = int(input())
for i in range(t):
    s, n = input().split()
    print(count_substrings(s, int(n)))

以上是Python代码示例，可以通过哈希表快速统计子串的数量。对于没有掌握Python语言的程序员，需了解类似的数据结构和算法知识，并使用自己熟悉的编程语言进行实现。