RD Sharma解决方案 - 第11类 - 第29章限制 - 练习29.2

简介

RD Sharma解决方案是面向学生的一种数学教学资源。它旨在提供RD Sharma书籍的解决方案，以使学生更好地理解问题和解决方法。

该解决方案针对第11类 - 第29章限制 - 练习29.2提供了详细的解决方案。

解决方案

题目：在限制$x+y+z=6$的同时，最大化$xyz$。

解决思路

使用拉格朗日乘数法解决本题。我们需要求解以下两个函数的极值：

$$ f(x,y,z) = xyz\ g(x,y,z) = x+y+z-6 $$

将它们组合在一起得到：

$$ F(x,y,z,\lambda) = f(x,y,z) - \lambda g(x,y,z) $$

求解式子得到：

$$ \begin{aligned} F_x &= yz - \lambda = 0\ F_y &= xz - \lambda = 0\ F_z &= xy - \lambda = 0\ F_{\lambda} &= x+y+z-6 = 0 \end{aligned} $$

用$F_x$除以$F_y$和$F_z$，我们得到$y = z$和$x = z$，代入四个方程中的任意两个方程得出$\lambda=3\sqrt{3}$。

因此，当$x=y=z=2\sqrt{3}$时，$xyz$的最大值为$12\sqrt{3}$。

程序代码

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def objective(xyz):
    x = xyz[0]
    y = xyz[1]
    z = xyz[2]
    return -x*y*z

def constraint(xyz):
    x = xyz[0]
    y = xyz[1]
    z = xyz[2]
    return x+y+z-6

x0 = [1,1,1]
b = (0, None)
bnds = (b,b,b)
con = {'type': 'eq', 'fun':constraint}
sol = minimize(objective, x0, method='SLSQP', bounds=bnds, constraints=con)
print(sol.x, -sol.fun)

代码解释

代码中使用了Python中的SciPy库来进行最小化约束优化。具体而言，使用minimize函数，设置函数和限制条件之后，利用SLSQP算法进行求解。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

首先，引用numpy和SciPy中的优化工具。

def objective(xyz):
    x = xyz[0]
    y = xyz[1]
    z = xyz[2]
    return -x*y*z

定义了目标函数objective。在本例中，最大化xyz等价于最小化负数的xyz，因此目标函数为-x*y*z。

def constraint(xyz):
    x = xyz[0]
    y = xyz[1]
    z = xyz[2]
    return x+y+z-6

定义了限制条件constraint。在本例中，限制条件是$x+y+z=6$。

x0 = [1,1,1]
b = (0, None)
bnds = (b,b,b)
con = {'type': 'eq', 'fun':constraint}
sol = minimize(objective, x0, method='SLSQP', bounds=bnds, constraints=con)
print(sol.x, -sol.fun)

设置了初始猜测值x0和变量边界bnds，并将objective和constraint作为参数输入minimize函数中。函数返回求解的最优值和最优解，使用print函数将其输出。

结论

因此，使用拉格朗日乘数法可以得到在限制$x+y+z=6$的条件下，$xyz$最大值为$12\sqrt{3}$。并且，可以使用SciPy库来进行最小化约束优化。