第11类RD Sharma解决方案–第29章限制–练习29.11

概述

在这个RD Sharma解决方案中的第29章，我们将了解限制及其应用，练习29.11讲解了如何在给定限制下，找到正弦函数的最大值和最小值。这道题目需要一定的数学基础，要求掌握微积分和极值的相关知识，本篇文章将提供详细的解题思路和解析。

题目描述

已知 $\sin x$ 的定义域为 $[0,\pi]$，同时要满足如下两个限制条件：

• $4x - x^2\leq\pi^2$
• $x\geq0$

求 $\sin x$ 的最大值和最小值。

解题思路

根据这道题目，我们需要求解 $\sin x$ 的最大值和最小值。由于 $[0, \pi]$ 是一个闭区间，所以 $\sin x$ 在该区间内必然存在最大值和最小值。因此，我们需要找到 $\sin x$ 在该区间内的所有候选极值点，并找到其中的最大值和最小值。

以下是具体的解题思路：

1. 求解 $\sin x$ 的导数。

$$ \dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x $$

2. 找到 $\sin x$ 的导函数的零点。这些点将是候选极值点。

$$ \cos x = 0\ \implies x = \dfrac{\pi}{2} + (2n + 1)\dfrac{\pi}{2} $$

3. 计算这些极值点，并排除不在 $[0, \pi]$ 区间内的点。

$$ x_1 = \dfrac{\pi}{2} \approx 1.5708\ x_2 = \dfrac{3\pi}{2} \approx 4.7124 $$

4. 计算所有候选极值点的函数值，并找到其中的最大值和最小值。

$$ \sin x_1 = \sin \dfrac{\pi}{2} = 1\ \sin x_2 = \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1 $$

因此，$\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 区间内的最大值为 1，最小值为 -1。

最后，需要检查限制条件，确保我们的候选极值点都满足这些限制条件。在本例中，限制条件为 $4x - x^2\leq\pi^2$ 和 $x\geq0$。我们可以看到，$\sin x$ 的最大值和最小值都不受这些限制的影响。

因此，答案是 $\sin x$ 的最大值为 1，最小值为 -1。

总结

这篇文章介绍了如何在给定限制条件下，求解 $\sin x$ 的最大值和最小值。我们使用了微积分的知识，并找到了 $\sin x$ 的所有候选极值点。最后，我们计算了这些候选极值点的函数值，并找到了其中的最大值和最小值。