第11类RD Sharma解决方案-第29章限制-练习29.3

这是RD Sharma第11类数学问题解决方案的第29章限制练习29.3的介绍。这个练习主要涉及不等式和限制，是高中数学中常见的难题之一。以下是该问题的解决方案。

题目描述

给定正实数$a,b$，证明以下不等式成立。

$$(a^2+1)(b^2+1)\geq (a+b)^2$$

同时还满足以下限制：

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq \frac{(a+b)^2}{2ab}$$

解决方案

首先，我们将不等式展开，并将等号两边化简：

$$(a^2+1)(b^2+1)\geq (a+b)^2$$

$$(a^2+1)(b^2+1)- (a+b)^2\geq 0$$

$$a^2b^2+1+a^2+b^2-2ab-a^2b^2-2\geq 0$$

$$a^2+b^2-2ab+1\geq 0$$

$$(a-b)^2+1\geq 0$$

显然，这个不等式成立。因此第一个限制条件也成立：

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq \frac{(a+b)^2}{2ab}$$

接下来，我们来证明这个限制条件。首先，我们将不等式两边乘以$2ab$，得到：

$$2a^2+2b^2\leq ab(a+b)^2$$

将$a^2+b^2$替换成$(a-b)^2+2ab$，得到：

$$2(a^2+b^2)\leq ab(a+b)^2$$

将$ab$替换成$\frac{a^2b^2}{ab}$，得到：

$$2(a^2+b^2)\leq \frac{a^3b^3}{a}+\frac{a^3b^3}{b}+2a^2b^2$$

将$a^2b^2$合并，得到：

$$2(a^2+b^2)\leq a^2b^2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+2a^2b^2$$

将$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$替换为一个新的变量$x$：

$$2(a^2+b^2)\leq a^2b^2(x)+2a^2b^2$$

将$x$替换为右侧的限制条件，得到：

$$2(a^2+b^2)\leq a^2b^2\left(\frac{(a+b)^2}{2ab}\right)+2a^2b^2$$

化简后得到：

$$(a-b)^2\geq 0$$

这也是成立的。

因此，我们已经证明了该不等式及其限制条件的解决方案。

结论

我们通过数学方式证明了该不等式及其限制条件的解决方案。这个问题需要运用一些基本的代数知识和数学技巧，但只要掌握了这些技能，问题并不难以解决。