第 11 类 RD Sharma 解决方案 - 第 29 章限制 - 练习 29.5 |设置 2

问题 11。 $\lim_{x \to a}\frac {x^{\frac 2 3}-a^{\frac 2 3}} {x^{\frac 3 4}-a^{\frac 3 4}}$

解决方案：

$\lim_{x \to a}\frac {x^{\frac 2 3}-a^{\frac 2 3}} {x^{\frac 3 4}-a^{\frac 3 4}}$

Dividing numerator and denominator by x-a

$=\lim_{x \to a}\frac {\frac {x^{\frac 2 3}-a^{\frac 2 3}} {x-a}} {\frac {x^{\frac 3 4}-a^{\frac 3 4}} {x-a}}$

$=\frac {\lim_{x \to a}\frac {x^{\frac 2 3}-a^{\frac 2 3}} {x-a}} {\lim_{x \to a}\frac {x^{\frac 3 4}-a^{\frac 3 4}} {x-a}}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$here, $n=\frac 2 3$ for numerator and $n=\frac 3 4$ for denominator

$=\frac {\frac 2 3a^{\frac 2 3 -1}}{\frac 3 4a^{\frac 3 4 -1}}$

$=\frac 8 9 a^{\frac {-1} 3+\frac 1 4}$

$=\frac 8 9a^{\frac {-1} {12}}$

问题 12. 如果$\lim_{x \to 3}\frac {x^n-3^n} {x-3}=108$ ，求n的值。

解决方案：

$\lim_{x \to 3}\frac {x^n-3^n} {x-3}=108$

LHS = $\lim_{x \to 3}\frac {x^n-3^n} {x-3}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$

LHS = $n(3)^{n-1}$

RHS = 108

LHS = RHS

$\implies n(3)^{n-1}=108$

$\implies n(3)^{n-1}=2\times2\times3\times3\times3$

$\implies n(3)^{n-1}=2^2\times3^3$

$\implies n(3)^{n-1}=4\times3^{4-1}$

$\implies n=4$

问题 13. 如果$\lim_{x \to a}\frac {x^9-a^9} {x-a}=9$ , 找出 a 的所有可能值。

解决方案：

$\lim_{x \to a}\frac {x^9-a^9} {x-a}=9$

LHS=$\lim_{x \to a}\frac {x^9-a^9} {x-a}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$

LHS = $9(a)^{9-1}$

RHS = 9

LHS = RHS

$\implies 9(a)^{9-1}=9$

$\implies 9(a)^{8}=9$

$\implies (a)^{8}=\frac 9 9$

$\implies a^8=1$

$\implies a= \pm1$

$\implies$ a=1 and a=-1

问题 14. 如果$\lim_{x \to a}\frac {x^5-a^5} {x-a}=405$ , 找出 a 的所有可能值。

解决方案：

$\lim_{x \to a}\frac {x^5-a^5} {x-a}=405$

LHS = $\lim_{x \to a}\frac {x^5-a^5} {x-a}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$

LHS = $5a^{5-1}$

RHS = 405

LHS = RHS

$\implies 5a^{5-1}=405$

$\implies 5a^4=405$

$\implies a^4=\frac {405} 5$

$\implies a^4=81$

$\implies a=\pm 3$

$\implies$a=3 and a=-3

问题 15. 如果$\lim_{x \to a}\frac {x^9-a^9} {x-a}=\lim_{x \to 5}(4+x)$ , 找出 a 的所有可能值。

解决方案：

$\lim_{x \to a}\frac {x^9-a^9} {x-a}=\lim_{x \to 5}(4+x)$

LHS=$\lim_{x \to a}\frac {x^9-a^9} {x-a}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$

LHS=$9a^{9-1}=9a^8$

RHS=$\lim_{x \to 5}(4+x)=4+5=9$

LHS=RHS

$\implies 9a^8=9$

$\implies a^8=1$

$\implies a=\pm1$

$\implies$a=1 and a=-1

问题 16. 如果$\lim_{x \to a}\frac {x^3-a^3} {x-a}=\lim_{x \to 1}\frac {x^4-1}{x-1}$ , 找出 a 的所有可能值。

解决方案：

$\lim_{x \to a}\frac {x^3-a^3} {x-a}=\lim_{x \to 1}\frac {x^4-1}{x-1}$

LHS=$\lim_{x \to a}\frac {x^3-a^3} {x-a}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$

LHS=$3a^{3-1}=3a^2$

RHS=$4(1)^{4-1}=4$

LHS=RHS

$\implies 3a^2=4$

$\implies a^2=\frac 4 3$

$\implies a= \pm \frac 2 {\sqrt3}$

$\implies a=\frac 2 {\sqrt3}$ and $a=-\frac 2 {\sqrt3}$