第11类RD Sharma解决方案–第29章限制–练习29.6 |套装2

本文为程序员提供第11类RD Sharma数学教材29章的解决方案，特别是针对练习29.6。解决方案可视为套装2的组成部分。以下是该套装的完整介绍。

套装2介绍

第11类RD Sharma数学教材的套装2由以下五个部分组成：

1. 第29章限制 - 概念掌握
2. 第29章限制 - 练习29.1
3. 第29章限制 - 练习29.2
4. 第29章限制 - 练习29.3
5. 第29章限制 - 练习29.4

以上五个部分的练习涵盖了第29章限制的主要概念和技能，并以逐步提高的难度进行排列。

练习29.6

练习29.6需要学生解决限制问题。该问题可以通过应用图形解决法来解决，这需要学生具备一定的图形技能。以下是练习29.6的解决方案。

题目

在所有长度等于 $a$ 的直角三角形中，求出斜边上的最长的垂足线。

解决方案

让我们看看如何通过图形解决本题。假设我们有一个长度为 $a$ 的直角三角形 $ABC$ ，其 $BC$ 边是斜边。我们需要找到从 $B$ 到 $AC$ 的最长垂足线。

首先，让我们在三角形 $ABC$ 上绘制一个垂线，将 $BC$ 分成两个部分，如下图所示：

               B
               |
               |
               |x
               |
            ___|______________
               A              C

我们可以称该垂线为 $BD$，$D$ 是 $AC$ 上的一个点。根据相似三角形的性质，我们可以列出以下方程式：

$$\frac{BD}{AB} = \frac{AC}{BC}$$

因为 $AB = \sqrt{BC^2 - a^2}$ 和 $AC = \sqrt{a^2 + BC^2}$，我们可以将方程式改写为：

$$BD = \frac{a^2}{\sqrt{4a^2 + BC^2}}$$

接下来，我们需要找到使 $BD$ 最大化的 $BC$ 值。为了找到最大值，我们可以对 $BD$ 取导数，并将其设置为零，以找到极值点。这样，我们可以将 $BD$ 的导数表示为：

$$\frac{dBD}{dbc} = \frac{a^2}{(4a^2 + BC^2)^{\frac{3}{2}}} \implies \frac{dBD}{dbc} = 0$$

通过求解上方程式的解，我们可以找到当 $BC = a\sqrt{2}$ 时，$BD$ 达到最大值。这在下图中可见：

               B
               |
               |
               |x
               |
            ___|______________
               A              C
                        |||    
                        |||
                    a*sqrt(2)

因此，我们的答案是 $\frac{a^2}{\sqrt{4a^2 + (a\sqrt{2})^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{6a^2}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$。

回顾

通过图形解决问题具有许多好处。它可以帮助学生更好地理解和处理复杂的问题。与其他解决方法相比，图形解决法常常更为简单且直观，并且可以通过可视化来增强学习效果。本文提供的解决方案为套装2的一部分，是帮助学生提高数学能力与技能的有用资源。