第11类RD Sharma解决方案–第29章限制–练习29.9

本次介绍的是RD Sharma数学教材中，第11类RD Sharma解决方案的第29章——限制问题（Exercise 29.9）。

这一章是讨论带限制条件的代数式问题，如何根据限制条件进行求解。在练习29.9中，介绍的是“用限制条件解决问题”的例题。

题目描述

在一个正方形的棋盘上，从棋盘左下角的一个方格出发，每走一步只能向右或向上走，最后到达棋盘的右上角的方格。求从出发点走到到达终点的方案数。

题目解答

这道题目可以使用组合的思想进行求解。具体来说，可以设出所需要的维度（行和列），根据组合公式：

$C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

求解相应的组合数。其中，$n$代表总共的格子数，$r$代表左下角到右上角需要走的步数。

但是，这样会存在错误，因为我们没有考虑到限制条件——只能向右或向上走。因此，需要先不考虑限制条件，求出可能的方案总数，再排除掉不符合限制条件的方案。

对于不考虑限制条件的情况，根据组合公式，总共可能的方案数为：

$C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{6!}{2!4!} = 15$

但是，这并不是我们所要求的结果，因为还需要排除掉不符合限制条件的方案。

对于不符合限制条件的方案，有两种情况。一种是没有经过终点位置，即从起点出发，向右或向上走，都没有到达终点。此时，需要求出这种情况下的方案数。

对于这种情况，从起点走到终点需要走的步数为 $5$ 步，其中 $3$ 步向上，$2$ 步向右，因此，可以使用组合公式计算出可能的方案数：

$C(5,2) = \frac{5!}{2!3!} = 10$

同时，如果我们要求的是从左下角到右上角的路径，那么也需要排除掉所有没有经过终点的路径。此时，可以使用排除法，将没有经过终点的路径总数从总方案数中减去：

$15 - 10 = 5$

因此，从起点出发，到达终点的路径数为 $5$ 条。

总结

这道题目中，介绍了如何使用限制条件进行组合计数的操作。通过本题，可以熟练掌握组合计数的思想，同时也可以提高在组合计数问题中应用限制条件的能力。

以上是根据RD Sharma数学教材中，第11类RD Sharma解决方案的第29章——限制问题（Exercise 29.9），给出的求解思路和方法。