第12类RD Sharma解决方案–第17章增减功能–练习17.1

问题1：证明函数f(x)= log _e x在(0，∞)上递增。

解决方案：

Let x1, x2 ∈ (0, ∞)

We have, x1

⇒ log_e x_{1 <} log_e x₂ 

⇒ f(x₁) < f(x₂)

Therefore, f(x) is increasing in (0, ∞).

问题2：证明函数f(x)= log _a (x)在a> 1时在(0，∞)上递增，在0

解决方案：

Case 1:

When a>1 

Let x₁, x₂ ∈ (0, ∞)

We have, x₁2

⇒ log_e x₁ < log_e x₂

⇒ f(x₁) < f(x₂)

Therefore, f(x) is increasing in (0, ∞).

Case 2:

When 0

f(x) = log_a x = log_x/log_a

When a<1 ⇒ log a< 0

let x₁2

⇒ log x₁2

⇒ ( log x₁/log a) > (log x₂/log a)                                [log a<0]

⇒   f(x₁) > f(x₂)

Therefore, f(x) is decreasing in (0, ∞).

问题3：证明f(x)= ax + b，其中a，b是常数，而a> 0是R上的一个递增函数。

解决方案：

We have,

f(x) = ax + b, a > 0

Let x₁, x₂ ∈ R and x₁ >x₂

⇒ ax₁ > ax₂ for some a>0

⇒ ax₁ + b > ax₂ + b for some b

⇒ f(x₁) > f(x₂)

Hence, x₁ > x₂  ⇒   f(x₁) > f(x₂)

Therefore, f(x) is increasing function of  R.

问题4：证明f(x)= ax + b，其中a，b是常数，而a <0是R上的递减函数。

解决方案：

We have,

f(x) = ax + b, a < 0

Let x₁, x₂ ∈ R and x₁ >x₂

⇒ ax₁ < ax₂ for some a>0

⇒ ax₁ + b 2 + b for some b

⇒ f(x₁) 2)

Hence, x₁ > x₂  ⇒   f(x₁) 2)

Therefore, f(x) is decreasing function of  R.

问题5：证明f(x)= 1 / x是(0，∞)的递减函数。

We have,

f(x) = 1/x

Let x₁, x₂ ∈  (0,∞) and x₁ > x₂

⇒  1/x₁ < 1/x₂

⇒ f(x₁) < f(x₂)

Thus, x₁ > x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

Therefore, f(x) is decreasing function.

问题6：证明f(x)= 1 /(1 + x ² )在间隔[0，∞]中减小，在间隔[-∞，0]中增大。

解决方案：

We have,

f(x) = 1/1+ x² 

Case 1:

when x ∈ [0, ∞]

Let x₁, x₂ ∈  [0,∞] and x₁ > x₂

⇒  x₁² > x₂²  

⇒  1+x₁² < 1+x₂²

⇒ 1/(1+ x₁² )> 1/(1+ x₂²  )

⇒ f(x1) < f(x2)

Therefore, f(x) is decreasing in [0, ∞].

Case 2:

when x ∈ [-∞, 0]

 Let x₁ > x₂ 

⇒  x₁² < x₂²                            [-2>-3 ⇒   4<9]

⇒  1+x₁² < 1+x₂²

⇒ 1/(1+ x₁²)> 1/(1+ x₂²  )

⇒ f(x₁) > f(x₂)

Therefore, f(x) is increasing in [-∞,0].

问题7：证明f(x)= 1 /(1 + x ² )在R上既不增加也不减少。

解决方案：

We have,

(x) = 1/1+ x²

R can be divided into two intervals [0, ∞] and [-∞,0]

Case 1:

when x ∈ [0, ∞]

Let x₁ > x₂

⇒  x₁² > x₂²  

⇒  1+x₁² < 1+x₂²

⇒ 1/(1+ x₁² )> 1/(1+ x₂²  )

⇒ f(x₁) < f(x₂)

Therefore, f(x) is decreasing in [0, ∞].

Case 2:

when x ∈ [-∞, 0]

Let x₁ > x₂

⇒  x₁² < x₂²                            [-2>-3 ⇒   4<9]

⇒  1+x₁² < 1+x₂²

⇒ 1/(1+ x₁²)> 1/(1+ x₂² )

⇒ f(x₁) > f(x₂)

Therefore, f(x) is increasing in [-∞,0].

Here, f(x) is decreasing in [0, ∞] and f(x) is increasing in [-∞,0].

Thus, f(x) neither increases nor decreases on R.

问题8：在不使用导数的情况下，证明函数f(x)= | x |是，

(i)严格增加(0，∞)(ii)严格减少(-∞，0)

解决方案：

 (i). Let x₁, x₂ ∈  [0,∞] and x₁ > x₂

⇒  f(x₁) > f(x₂)

 Thus, f(x) is strictly increasing in [0,∞].

(ii). Let x₁, x₂ ∈  [-∞, 0] and x₁ > x₂

⇒  -x₁<-x₂

⇒  f(x₁) < f(x₂)

Thus, f(x) is strictly decreasing in [-∞,0].

问题9：不使用导数表明函数f(x)= 7x – 3是R上的严格增加的函数。

解决方案：

f(x) = 7x-3

Let x₁, x₂ ∈ R and x₁ >x₂

⇒  7x₁ > 7x₂

⇒  7x₁ – 3 > 7x₂ – 3

⇒  f(x₁) > f(x₂)

Thus, f(x) is strictly increasing on R