给定一组元素N = {1,2，…，n}和两个任意子集A⊆N和B⊆N，n中有多少个！从N到N的排列π满足min(π(A))= min(π(B))，其中min(S)是整数S中的最小整数，而π(S)是所获得的整数通过将置换π应用于S?的每个元素
(A) (n – | A∪B |)| A | | B |
(B) (| A | 2 + | B | 2 )n 2
(C) n！ |A∩B| / |A∪B|
(D) |A∩B| 2 nC |A∪B|答案： (C)
说明：首先，让我们了解正在询问的问题。因此，π是一个从N到N的函数，它仅置换N的元素，所以会有n！这样的排列。现在给定一个特定的π，即给定一个特定的排列方案，我们必须从这n个中找出排列的数量！在将π应用于A和B的最小元素之后，它们的取值相同。
因此，例如，如果N = {1,2,3}，则π为{2,3,1}，如果A为{1,3}，则π(A)= {2,1}。
现在，A∪B中的元素数为| A∪B |。我们可以在nC |A∪B|中选择A∪B的排列。方法。请注意，这里我们只是选择要排列的元素，而不是实际排列。让这个选择的集合为P。现在，我们选择了要排列的数字后，就必须选择从A∪B的每个元素到P的某个元素的映射。
因此，首先，为了实现所讨论的必要条件，我们必须将P中的最小数映射到A∩B中的任何数，以便min(π(A))= min(π(B))。我们可以在|A∩B|方式，因为我们可以选择|A∩B|的任何元素映射到P中的最小数
现在我们来进行排列。我们可以在|A∪B-1|中的P中填充数字！方式，因为一个数字(最小值)已经固定。
此外，我们还可以置换剩余的n – |A∪B-1|在(n – |A∪B-1|)中！方式，所以总没有。方式=
nC |A∪B| ∗ |A∩B| ∗ |A∪B-1|！∗(n- |A∪B-1|)！= n！|A∩B||A∪B|
因此，选项(C)是正确的。
注意：网络上的某些答案键已将答案显示为选项(D)，这显然是不正确的。假设| A∪B | = 3，并且| A∩B | = 1，并且n = 4，则选项(D)的计算结果为14 = 0.25，这没有意义。
资料来源：http://www.cse.iitd.ac.in/~mittal/gate/gate_math_2006.html
这个问题的测验