给定一组元素 N = {1, 2, …, n} 和两个任意子集 A⊆N 和 B⊆N，n 中有多少个！从 N 到 N 的排列 π 满足 min(π(A)) = min(π(B))，其中 min(S) 是整数集合 S 中的最小整数，π(S) 是得到的整数集合通过将置换 π 应用于 S 的每个元素?
(A) (n – |A ∪ B|) |A| |乙|
(B) (|A| 2 +|B| 2 )n 2
(C) n！ |A∩B| / |A∪B|
(D) |A∩B| 2 nC|A∪B|答案： (C)
说明：首先让我们了解一下问题是什么。所以 π 是一个从 N 到 N 的函数，它只是置换了 N 的元素，所以会有 n！这样的排列。现在给定一个特定的 π，即给定一个特定的排列方案，我们必须从这些 n 中找到排列的数量！对 A 和 B 应用 π 后的最小元素相同的排列。
因此，例如，如果 N = {1,2,3}，则 π 为 {2,3,1}，如果 A 为 {1,3}，则 π(A) = {2,1}。
现在 A ∪ B 中的元素数是 |A ∪ B|。我们可以在 nC|A∪B| 中为 A ∪ B 选择排列方法。请注意，这里我们只是选择要排列的元素，而不是实际排列。让这个选择的集合是 P。 现在一旦我们选择了排列的数字，我们必须选择从 A ∪ B 的每个元素到 P 的某个元素的映射。
因此，首先，要达到所要求的条件，我们必须将 P 中的最小数映射到 A ∩ B 中的任何一个数，使得 min(π(A)) = min(π(B))。我们可以在 |A∩B| 中做到这一点方式，因为我们可以选择|A∩B|的任何元素映射到 P 中的最小数。
现在我们来进行排列。我们可以在|A∪B-1|中置换P中的数字！方式，因为一个数字(最小)已经固定。
此外，我们还可以置换剩余的 n – |A∪B-1|在 (n – |A∪B-1|)！方式，所以总没有。方式=
nC|A∪B|∗|A∩B|∗|A∪B−1|!∗(n−|A∪B−1|)!=n!|A∩B||A∪B|
所以选项(C)是正确的。
注意：网络上的某些答案键已将答案显示为选项 (D)，这显然是不正确的。假设 |A ∪ B| = 3，且 |A∩B| = 1，并且 n = 4，那么选项 (D) 的计算结果为 14=0.25，这是没有意义的。
资料来源：http://www.cse.iitd.ac.in/~mittal/gate/gate_math_2006.html
这个问题的测验