布尔代数：

互补的分布格称为布尔代数。它由(B，∧，∨，'，0,1)表示，其中B是一个集合，在该集合上定义了两个二进制运算∧(*)和∨(+)和一元运算(补码)。这里0和1是B的两个不同元素。

由于(B，∧，∨)是互补的分布格，因此B的每个元素都有唯一的互补。

布尔代数的属性：

1.交换性质：

(i)a + b = b + a
(ii)a="" *="" a<="" b="b" p="">

2.分布特性

(i)a +(b * c)=(a + b)*(a + c)
(ii)a="" *="" *(b="" +="" b)+(a="" c)="(a" c)<="" p="">

3.身份属性

(i)a + 0 = a
(ii)*="" 1="a

4.补充法律：

(i)a + a'= 1
(ii)a="" *="" a'="0

子代数：

考虑一个布尔代数(B，*，+，'，0,1)并让A⊆B。然后(A，*，+，'，0,1)称为的子代数或子布尔代数如果A本身是布尔代数，则B，即A包含元素0和1，并在*，+和'操作下关闭。

示例：考虑布尔代数D _70，其Hasse图如图所示：

显然，A = {1，7，10，70}和B = {1,2,35，70}是D ₇₀的子代数。由于操作operation，∧和'都关闭了A和B。

注意：布尔代数的子集可以是布尔代数，但是它可能是子代数，也可能不是子代数，因为它可能不会关闭B上的运算。

同构布尔代数：

两个布尔代数B和B ₁被称为同构，如果有一个一一对应_F：B⟶B1其保留了三个操作+，*和'的任何元件A，B在乙即
f(a + b)= f(a)+ f(b)
f(a * b)= f(a)* f(b)和f(a')= f(a)'。

示例：以下是两个不同的布尔代数，其中两个元素是同构的。

1.第一个是布尔代数，它是根据⊆(集合包含)下的幂集P(S)得出的，即，令S = {a}，然后让B = {P(S)，∪，∩，' }是一个布尔代数，具有两个元素P(S)= {}，{a}}。

2.第二个是布尔代数{B，∨，∧，'}，具有两个元素1和p(其中p是素数)，在运算除法后，即B = {1，p}。因此，我们有1∧p = 1和1∨p = p以及1'= p和p'= 1。

该表显示了布尔代数(B，*，+，'，0，1)的所有基本属性，其中任何元素a，b，c都属于B.B的最大和最小元素分别由1和0表示。

1. a≤biff a + b = b 2. a≤biff a * b = a
3.等幂定律4.交换性
(i)a + b = a(i)a + b = b + a
(ii)a * a = a(ii)a * b = b * a
5.关联属性6.吸收定律
(i)a +(b + c)=(a + b)+ c(i)a +(a * b)= a
(ii)a *(b * c)=(a * b)* c(ii)a *(a + b)= a
7.身份法8.空法
(i)a + 0 = a(i)a * 0 = 0
(ii)a * 1 = a(ii)a + 1 = 1
9.分配法10.补充法
(i)a *(b + c)=(a * b)+(a * c)(i)0'= 1
(ii)a +(b * c)=(a + b)*(a + c)(ii)1'= 0
(iii)a + a'= 1
(iv)a * a'= 0
11.内卷法12.摩根定律
(a')'= a(i)(a * b)'=(a'+ b')
(ii)(a + b)'=(a'* b')

注意：1.对于每个a∈B，0≤a≤1。2.每个元素b具有唯一补码b'。

布尔函数：

考虑布尔代数(B，∨，∧，'，0,1)。如果n个变量的布尔表达式可以指定，则从A''到A的函数称为布尔函数。

对于二值布尔代数，从[0，1] ⁿ到[0，1]的任何函数都是布尔函数。

示例1：该表显示了从{0，1} ³到{0，1}的函数f

示例² ：该表显示了从{0，1，2，3} ²到{0,1,2,3}的函数f。

注意：可以始终以表格形式描述函数。表达函数的另一种方法是通过表达式指定函数。