数学中的 Gamma 分布模型

介绍 ：

假设一个事件在给定的时间单位内可以发生多次。当事件发生的总次数未知时，我们可以将其视为一个随机变量。现在，如果这个随机变量X具有伽马分布，那么它的概率密度函数如下。

$f(x) = \frac{1}{\beta^\alpha Γ(\alpha)} x^{(\alpha - 1)}e^{\frac{-x}{\beta}}$

only when x > 0, α >0, β >0. Otherwise f(x) = 0

其中， Γ(α)是伽马函数的值，定义为：

$Γ(α) = \int^{\infty}_{0} x^{(\alpha - 1)}e^{-x}\,dx$

按部分集成它，我们得到：

$Γ(α) = (α-1)Γ(α-1)$对于 α > 1

因此， Γ(α) = (α-1)！当α为正整数时。

表示为——

X ~ GAM(β, α)

期望值 ：

泊松分布的期望值可以通过将值与其各自概率的乘积相加得到。

$\mu = E(X) = \int^{\infty}_{-\infty} x.f(x) dx$$\mu = \frac{1}{\beta^\alpha Γ(\alpha)} \int^{\infty}_{0}x. x^{(\alpha - 1)}e^{\frac{-x}{\beta}} dx$

设置 y = x/β 后，我们得到 –

$\mu = \frac{\beta}{Γ(\alpha)} \int^{\infty}_{0} y^{\alpha} e^{-y} dy = \frac{\beta Γ(\alpha+1)}{Γ(\alpha)}$

现在，在使用恒等式之后， Γ(α + 1) = α · Γ(α) ，我们得到 –

μ = α β

方差和标准差：

可以使用方差公式找到 Gamma 分布的方差。

$σ^2 = E( X − μ )^2 = E( X^2 ) − μ^2$$E(X^2) = \int^{\infty}_{-\infty} x^2.f(x) dx$$E(X^2) = \frac{1}{\beta^\alpha Γ(\alpha)} \int^{\infty}_{0}x^2. x^{(\alpha - 1)}e^{\frac{-x}{\beta}} dx$

设置 y = x/β 后，我们得到 –

$E(X^2) = \frac{\beta^2}{Γ(\alpha)} \int^{\infty}_{0} y^{\alpha+1} e^{-y} dy\\ = \frac{\beta^2 Γ(\alpha+2)}{Γ(\alpha)}$

但是， Γ(α + 2) = (α+1) · Γ(α+1)和Γ(α+1) = α · Γ(α)

=> Γ(α + 2) = α.(α+1).Γ(α)，我们得到 –

$E(X^2) = \beta^2.\alpha.(\alpha+1)$$So, Var(X) = E(X^2) - \mu^2$$Var(X) = \beta^2.\alpha.(\alpha+1) - \alpha^2\beta^2$$Var(X) = \sigma^2 = \alpha\beta^2$

标准偏差由下式给出 –

$\sigma = \sqrt{\alpha \beta^2} = \beta\sqrt{\alpha}$

笔记 –

在特殊情况下，如果 α = 1，我们得到指数分布$\mu = \beta\\ \sigma^2 = \beta^2$