📜  数学 | Reimann Zeta 分布模型

📅  最后修改于: 2021-09-22 10:49:37             🧑  作者: Mango

介绍 :

假设一个事件在给定的时间单位内可以发生多次。当事件发生的总次数未知时,我们可以将其视为一个随机变量。当随机变量 X 在从 1 到无穷大的离散时间间隔上取值时,概率密度的一种选择是 Reimann Zeta 分布,其概率密度函数如下给出。

f(x) = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)}x^{-(\alpha+1)}

以上表达式仅在给出以下条件时才适用。

x = 1,2,3,….     . f(x) = 0, 否则

在哪里, \alpha    是参数和\zeta(\alpha+1)    是 zeta函数的值,定义如下。

\zeta(y) = 1+(\frac{1}{2})^y+ (\frac{1}{3})^y+(\frac{1}{4})^y + ...... +  (\frac{1}{n})^y = \Sigma_{k=1}^{\infty} k^{-y}

遵循 Reimann Zeta 分布的随机变量X表示如下。

X~RIE( \alpha    )

期望值 :

Reimann Zeta 分布的期望值可以通过将 Values 与其各自概率的乘积相加得到,如下所示。

\mu = E(X) = \Sigma_{x=-\infty}^{\infty} x.f(x)\mu = \Sigma_{x=1}^{\infty} x.\frac{1}{\zeta(\alpha+1)}.x^{-(\alpha+1)}\mu = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)}\Sigma_{x=1}^{\infty} x^{-\alpha}

使用物业\zeta(y) = \Sigma_{k=1}^{\infty} k^{-y}    ,我们得到如下表达式。

\mu = \frac{\zeta(\alpha)}{\zeta(\alpha+1)}

方差和标准差:

黎曼 Zeta 分布的方差可以使用方差公式找到,如下所示。

σ^2 = E( X − μ )^2 = E( X^2 ) − μ^2E(X^2) = \Sigma^{\infty}_{x=-\infty} x^2.f(x) E(X^2) = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)} \Sigma_{x=1}^{\infty} x^2.x^{-(\alpha+1)}E(X^2) = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)} \Sigma_{x=1}^{\infty} x^{1-\alpha}

使用物业\zeta(y) = \Sigma_{k=1}^{\infty} k^{-y}    ,我们得到如下表达式。

E(X^2) = \frac{\zeta(\alpha-1)}{\zeta(\alpha+1)}So, Var(X) = E(X^2) - \mu^2Var (X) = (\frac{\zeta(\alpha-1)}{\zeta(\alpha+1)})^2 - (\frac{\zeta(\alpha)}{\zeta(\alpha+1)})^2Var(X) = \sigma^2 = \frac{[\zeta(\alpha-1)]^2 - [\zeta(\alpha)]^2}{[\zeta(\alpha+1)]^2}

标准偏差如下给出。

\sigma = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)} \sqrt{[\zeta(\alpha-1)]^2 - [\zeta(\alpha)]^2}