数学| Reimann Zeta分布模型

介绍 ：

假设一个事件可以在给定的时间单位内发生多次。当事件的发生总数未知时，我们可以将其视为随机变量。当随机变量X在从1到无穷大的离散时间间隔上取值时，概率密度的一种选择是Reimann Zeta分布，其概率密度函数由下式给出。

$f(x) = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)}x^{-(\alpha+1)}$

上面的表达式仅在给出以下条件时适用。

x = 1,2,3，…. 。 f(x)= 0，否则

在哪里， $\alpha$是参数， $\zeta(\alpha+1)$是zeta函数的值，定义如下。

$\zeta(y) = 1+(\frac{1}{2})^y+ (\frac{1}{3})^y+(\frac{1}{4})^y + ...... + (\frac{1}{n})^y = \Sigma_{k=1}^{\infty} k^{-y}$

遵循Reimann Zeta分布的随机变量X表示如下。

X〜RIE( $\alpha$ )

期望值 ：

Reimann Zeta分布的期望值可通过将值的乘积与各自的概率求和得出，如下所示。

$\mu = E(X) = \Sigma_{x=-\infty}^{\infty} x.f(x)$$\mu = \Sigma_{x=1}^{\infty} x.\frac{1}{\zeta(\alpha+1)}.x^{-(\alpha+1)}$$\mu = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)}\Sigma_{x=1}^{\infty} x^{-\alpha}$

使用属性$\zeta(y) = \Sigma_{k=1}^{\infty} k^{-y}$ ，我们得到以下表达式如下。

$\mu = \frac{\zeta(\alpha)}{\zeta(\alpha+1)}$

方差和标准差：

黎曼Zeta分布的方差可以使用方差公式如下找到。

$σ^2 = E( X − μ )^2 = E( X^2 ) − μ^2$$E(X^2) = \Sigma^{\infty}_{x=-\infty} x^2.f(x)$$E(X^2) = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)} \Sigma_{x=1}^{\infty} x^2.x^{-(\alpha+1)}$$E(X^2) = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)} \Sigma_{x=1}^{\infty} x^{1-\alpha}$

使用属性$\zeta(y) = \Sigma_{k=1}^{\infty} k^{-y}$ ，我们得到以下表达式如下。

$E(X^2) = \frac{\zeta(\alpha-1)}{\zeta(\alpha+1)}$$So, Var(X) = E(X^2) - \mu^2$$Var (X) = (\frac{\zeta(\alpha-1)}{\zeta(\alpha+1)})^2 - (\frac{\zeta(\alpha)}{\zeta(\alpha+1)})^2$$Var(X) = \sigma^2 = \frac{[\zeta(\alpha-1)]^2 - [\zeta(\alpha)]^2}{[\zeta(\alpha+1)]^2}$

标准偏差如下。

$\sigma = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)} \sqrt{[\zeta(\alpha-1)]^2 - [\zeta(\alpha)]^2}$