数学中的伽马分布模型

介绍 ：

假设一个事件可以在给定的时间单位内发生多次。当事件的发生总数未知时，我们可以将其视为随机变量。现在，如果该随机变量X具有伽马分布，则其概率密度函数如下所示。

$f(x) = \frac{1}{\beta^\alpha Γ(\alpha)} x^{(\alpha - 1)}e^{\frac{-x}{\beta}}$

only when x > 0, α >0, β >0. Otherwise f(x) = 0

其中， Γ(α)是伽玛函数的值，定义为：

$Γ(α) = \int^{\infty}_{0} x^{(\alpha - 1)}e^{-x}\,dx$

通过部分集成它，我们得到：

$Γ(α) = (α-1)Γ(α-1)$当α> 1时

因此， Γ(α)=(α-1)！当α为正整数时。

表示为–

X ~ GAM(β, α)

期望值 ：

泊松分布的期望值可以通过将值的乘积与它们各自的概率相加得出。

$\mu = E(X) = \int^{\infty}_{-\infty} x.f(x) dx$$\mu = \frac{1}{\beta^\alpha Γ(\alpha)} \int^{\infty}_{0}x. x^{(\alpha - 1)}e^{\frac{-x}{\beta}} dx$

放置y = x /β后，我们得到–

$\mu = \frac{\beta}{Γ(\alpha)} \int^{\infty}_{0} y^{\alpha} e^{-y} dy = \frac{\beta Γ(\alpha+1)}{Γ(\alpha)}$

现在，在使用等式Γ(α+ 1)=α·Γ(α)之后，我们得到–

μ = α β

方差和标准差：

可以使用方差公式找到伽玛分布的方差。

$σ^2 = E( X − μ )^2 = E( X^2 ) − μ^2$$E(X^2) = \int^{\infty}_{-\infty} x^2.f(x) dx$$E(X^2) = \frac{1}{\beta^\alpha Γ(\alpha)} \int^{\infty}_{0}x^2. x^{(\alpha - 1)}e^{\frac{-x}{\beta}} dx$

放置y = x /β后，我们得到–

$E(X^2) = \frac{\beta^2}{Γ(\alpha)} \int^{\infty}_{0} y^{\alpha+1} e^{-y} dy\\ = \frac{\beta^2 Γ(\alpha+2)}{Γ(\alpha)}$

但是， Γ(α+ 2)=(α+ 1)·Γ(α+ 1)和Γ(α+ 1)=α·Γ(α)

=> Γ(α+ 2)=α。(α+ 1).Γ(α)，我们得到–

$E(X^2) = \beta^2.\alpha.(\alpha+1)$$So, Var(X) = E(X^2) - \mu^2$$Var(X) = \beta^2.\alpha.(\alpha+1) - \alpha^2\beta^2$$Var(X) = \sigma^2 = \alpha\beta^2$

标准差由下式给出：

$\sigma = \sqrt{\alpha \beta^2} = \beta\sqrt{\alpha}$

笔记 –

在特殊情况下，如果α= 1，我们得到的指数分布为$\mu = \beta\\ \sigma^2 = \beta^2$