数学 | 威布尔分布模型

简介

威布尔分布是一种连续概率分布，经常用于可靠性分析。在威布尔分布中，随机变量X的概率密度函数为：

$$ f(x;\lambda,\alpha) = \frac{\alpha}{\lambda} \Big( \frac{x}{\lambda} \Big)^{\alpha - 1} e^{-\Big(\frac{x}{\lambda}\Big)^\alpha} $$

其中，$\lambda > 0$ 是尺度参数(scale parameter)，$\alpha > 0$ 是形状参数(shape parameter)。

特点

威布尔分布有以下特点：

• 可以描述正比于时间的故障率；
• 具有适应性，能够描述许多不同的分布形状，如指数分布、正态分布等；
• 在分布形状相同的情况下，尺度参数越大，分布越平缓；
• 在尺度参数相同的情况下，形状参数越大，分布越左偏。

应用

威布尔分布在工程领域应用广泛，例如：

• 电子、通信等设备的可靠性分析；
• 材料损耗、寿命分析；
• 医学领域的生命科学研究。

Python实现

使用scipy.stats库可以方便地对威布尔分布进行建模和计算。

from scipy.stats import weibull_min
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义威布尔分布的参数
lambda_ = 5  # 尺度参数
alpha = 2  # 形状参数

# 生成500个符合威布尔分布的随机数
data = weibull_min.rvs(alpha, scale=lambda_, size=500)

# 绘制随机数分布的直方图
plt.hist(data, density=True, bins=30)

# 计算威布尔分布的概率密度函数
x = np.linspace(0, 20, 100)
pdf = weibull_min.pdf(x, alpha, scale=lambda_)

# 绘制概率密度函数曲线
plt.plot(x, pdf)

plt.show()

输出的图形为：