数学|威布尔分布模型

介绍 ：

假设一个事件可以在给定的时间单位内发生多次。当事件的发生总数未知时，我们可以将其视为随机变量X。当该随机变量X遵循Weibull分布模型(与指数分布密切相关)时，其概率密度函数如下。

$f(x) = \alpha\beta x^{\beta-1}e^{-\alpha x^{\beta}}$

only when 
x > 0, α >0, β > 0.  
f(x) = 0 , Otherwise

威布尔分布的累积分布函数如下获得。

$F(x) = \int_{0}^{x}\alpha\beta w^{\beta-1}e^{-\alpha w^{\beta}} dw$

放置y = $w^b$ ，

我们将得到以下表达式。

$F(x) = \int^{x^b}_{0} \alpha e^{-\alpha y} dy = 1-e^{-\alpha x^\beta}$

这意味着，当X具有Weibull分布时，则Y = $X^β$具有指数分布。

期望值 ：

Beta分布的期望值可以通过将值的乘积与它们各自的概率求和得出。

$\mu = E(X) = \int^{\infty}_{-\infty} x.f(x) dx$$\mu = \int^{\infty}_{0} x. \alpha\beta x^{\beta-1}e^{-\alpha x^{\beta}} dx$

把u = $\alpha x^\beta$ ，

我们将得到以下表达式，如下所示。

$\mu = \alpha^{-1/\beta} \int^{\infty}_0 u^{1/\beta} e^{-u} du$

使用gamma函数的定义，我们将获得以下表达式，如下所示。

$\mu = \alpha^{-1/\beta} \Gamma(1+\frac{1}{\beta})$

方差和标准差：

可以使用方差公式找到Beta分布的方差。

$σ^2 = E( X − μ )^2 = E( X^2 ) − μ^2$$E(X^2) = \int^{\infty}_{-\infty} x^2.f(x) dx$$E(X^2) = \int^{\infty}_{0} x^2. \alpha\beta x^{\beta-1}e^{-\alpha x^{\beta}} dx$

把u = $\alpha x^\beta$ ，

我们将得到以下表达式，如下所示。

$E(X^2) = \alpha^{-2/\beta} \int^{\infty}_0 u^{2/\beta} e^{-u} du$

使用gamma函数的定义，我们将获得以下内容。

$E(X^2) = \alpha^{-2/\beta} \Gamma(1+\frac{2}{\beta})$$So, Var(X) = E(X^2) - \mu^2$$Var(X) = \sigma^2 = \alpha^{-2/\beta} [\Gamma(1+\frac{2}{\beta})- \{\Gamma (1+\frac{1}{\beta})\}^2]$

标准偏差如下。

$\sigma = \alpha^{-1/\beta} \sqrt{[\Gamma(1+\frac{2}{\beta})- \{\Gamma (1+\frac{1}{\beta})\}^2]}$

例子 –

假设某种应急备用电池的寿命(以小时为单位)是一个随机变量X，其Weibull分布为α= 0.1和β= 0.5。找

1. 这些电池的平均寿命；
2. 这种电池可持续使用300小时以上的可能性。

解决方案 –

1.将α和β的值代入均值的公式中，我们将得到以下结果。

$\mu = (0.1)^{-2}\Gamma(3) = 200$小时

2.电池续航时间超过300小时的概率如下所示。

$\int_{300}^{\infty} (0.05)x^{-0.5} e^{-0.1x^{0.5}} dx = e^{-0.1(300)^{0.5}} = 0.177$