计算理论中的阿登定理

Arden 定理指出：
“如果 P 和 Q 是两个正则表达式$$\sum_$ , 如果 P 不包含$$\epsilon_$ ，那么以下由 R = Q + RP 给出的 R 方程具有唯一解，即 R = QP*。”
这意味着，每当我们得到 R = Q + RP 形式的任何方程时，我们都可以直接替换为 R = QP*。所以，这里首先我们要证明 R = QP* 是这个方程的解，然后我们还要证明它是这个方程的唯一解。

让我们先把这个方程当作方程 (i)

R = Q + RP  ......(i)

现在，用 R = QP* 替换 R，我们得到，

R = Q + QP*P 

以Q为常见，

R = Q( $$\epsilon_$ + P*P) R = QP*

(据我们所知$$\epsilon_$ + R*R = R*)。因此证明。

因此，R = QP* 是方程 R = Q + RP 的解。

现在，我们必须证明这是这个方程的唯一解。让我再次使用这个等式：

R = Q + RP

现在，用 R = Q + RP 替换 R，

R = Q + (Q + RP)P = Q + QP + R $P^2$

再次，用 R = Q + RP 替换 R：-

R = Q + QP + (Q + RP) $P^2$ = Q + QP + Q $P^2$ + R $P^3$ = … = … = Q + QP + Q $P^2$ + .. + Q $P^n$ + R $P^{(n+1)}$

现在，用 R = QP* 替换 R，我们得到，

R = Q + QP + Q $P^2$ + .. + Q $P^n$ + QP* $P^{(n+1)}$

以Q为常见，

R = Q( $$\epsilon_$ + P + $P^2$ + .. + $P^n$ + P* $P^{(n+1)}$ ) = QP* [作为$$\epsilon_$ + P + $P^2$ + .. + $P^n$ + P* $P^{(n+1)}$代表P的闭包]

因此证明。

因此，R = QP* 是方程 R = Q + RP 的唯一解。

为了理解这个定理，我们将解决一个例子：

例子 –

q1 = q1.0 + $$\epsilon_$ q2 = q1.1 + q2.0 q3 = q2.1 + q3.0 + q3.1

现在，

q1 = $$\epsilon_$ + q1.0 q1 = $$\epsilon_$ .0* [根据阿登定理] q1 = 0* [ $$\epsilon_$ R = R] .’。 q2 = 0*1 +q2.0 q2 = 0*10*

[应用阿登定理]。因此，q2 的值为 0*10*。