NPDA 接受语言 L = {wwR | w ∈ (a,b)*}

先决条件 – 下推自动机，下推自动机按最终状态接受
问题：设计一个接受语言 L = {wwR w ∈ (a, b)*} 的非确定性 PDA，即，

L = {aa, bb, abba, aabbaa, abaaba, ......} 

解释：
在这种类型的输入字符串，一个输入有多个转换状态，因此它被称为非确定性 PDA 并且输入字符串包含任何顺序的 ‘a’ 和 ‘b’。每个输入字母都有不止一种移动下一个状态的可能性。最后，当堆栈为空时，NPDA 会接受该字符串。在这个 NPDA 中，我们使用了一些符号，如下所示：

Γ = { a, b, z }

其中，Γ = 所有堆栈字母的集合
z = 堆栈起始符号
a = 输入字母
b = 输入字母

用于构建PDA的方法 –
由于我们要设计 NPDA，因此每次出现 ‘a’ 或 ‘b’ 时，要么压入堆栈，要么进入下一个状态。它依赖于一个字符串。当我们看到等于栈顶的输入字母表时，此时弹出操作应用于栈并移动到下一步。
因此，最后如果堆栈变空，那么我们可以说该字符串已被 PDA 接受。

堆栈转换函数

$\delta$ (q0, a, z) $\vdash$ (q0, az) $\delta$ (q0, a, a) $\vdash$ (q0, aa) $\delta$ (q0, b, z) $\vdash$ (q0, bz) $\delta$ (q0, b, b) $\vdash$ (q0, bb) $\delta$ (q0, a, b) $\vdash$ (q0, ab) $\delta$ (q0, b, a) $\vdash$ (q0, ba) $\delta$ (q0, a, a) $\vdash$ (q1, ∈) $\delta$ (q0, b, b) $\vdash$ (q1, ∈) $\delta$ (q1, a, a) $\vdash$ (q1, ∈) $\delta$ (q1, b, b) $\vdash$ (q1, ∈) $\delta$ (q1, ∈, z) $\vdash$ (qf, z)

其中，q0 = 初始状态
qf = 最终状态
∈ = 表示弹出操作

所以，这是我们接受语言 L = {wwR w ∈ (a, b)*} 所需的非确定性 PDA

例子：
我们将采用一个输入字符串：“abbbba”。

• 从左到右扫描字符串
• 第一个输入是 ‘a’ 并遵循以下规则：
• 在输入 ‘a’ 和 STACK 字母 Z 上，将两个 ‘a’ 推入 STACK 为：(a, Z/aZ) 并且状态将为 q0
• 在输入“b”和堆栈字母“a”上，将“b”推入堆栈中：(b, a/ba) 并且状态将为 q0
• 在输入 ‘b’ 和 STACK 字母表 ‘b’ 上，将 ‘b’ 推入 STACK 为 : (b, b/bb) 并且状态将为 q0
• 在输入 ‘b’ 和 STACK 字母表 ‘b’(状态为 q1)上，从 STACK 中弹出一个 ‘b’ 为：(b, b/∈) 并且状态将为 q1
• 在输入 ‘b’ 和 STACK 字母表 ‘b’(状态为 q1)上，从 STACK 中弹出一个 ‘b’ 为：(b, b/∈) 并且状态将为 q1
• 在输入 ‘a’ 和堆栈字母表 ‘a’ 和状态 q1 上，从堆栈中弹出一个 ‘a’ 为：(a, a/∈) 并且状态将保持为 q1
• 在输入 ∈ 和堆栈字母 Z 上，转到最终状态(qf)为：(∈，Z/Z)

所以，最后栈变空了，我们就可以说这个字符串被PDA接受了。

问题：
设计一个确定性的 PDA 来接受语言 L = { wcwR w ∈ (a, b)*}，即，

{aca, bcb, abcba, abacaba, aacaa, bbcbb, .......}

在每个字符串，出现在 c 左侧的子字符串与出现在 c 右侧的子字符串相反。

解释 ：
这里我们需要以这样的方式维护字符串，即 c 左侧的子串正好是 c 右侧的反向子串。为此，我们使用了一个堆栈。在字符串’a’ 和 ‘b’ 中存在任何顺序，而 ‘c’ 只出现一次。当’c’出现时，弹出操作开始进入堆栈。当堆栈为空时，则接受语言。

Γ = {a, b, z} 

其中，Γ = 所有堆栈字母的集合
z = 堆栈起始符号
a = 输入字母
b = 输入字母

构建PDA所采用的方法：
因为我们想要设计 PDA In 每次当 ‘a’ 或 ‘b’ 出现时，我们都会压入堆栈并保持相同的状态 q0。当 ‘c’ 出现时，我们移动到下一个状态 q1 而不将 ‘c’ 压入堆栈。之后，当输入与堆栈顶部相同时，然后从堆栈中弹出并保持相同的状态。 POP 操作一直执行到输入字符串结束。最后当输入是 ∈ 然后移动到最终状态 qf。
如果堆栈变空，则接受语言。

其中，q0 = 初始状态
qf = 最终状态
z = 堆栈起始符号
∈= 表示弹出操作

堆栈转换函数：

$\delta$ (q0, a, z) $\vdash$ (q0, az) $\delta$ (q0, a, a) $\vdash$ (q0, aa) $\delta$ (q0, b, z) $\vdash$ (q0, bz) $\delta$ (q0, b, b) $\vdash$ (q0, bb) $\delta$ (q0, a, b) $\vdash$ (q0, ab) $\delta$ (q0, b, a) $\vdash$ (q0, ba) $\delta$ (q0, c, a) $\vdash$ (q1, a) $\delta$ (q0, c, b) $\vdash$ (q1, b) $\delta$ (q1, a, a) $\vdash$ (q1, ∈) $\delta$ (q1, b, b) $\vdash$ (q1, ∈) $\delta$ (q1, ∈, z) $\vdash$ (qf, z)

其中，q0 = 初始状态
qf = 最终状态
∈ = 表示弹出操作

所以，这是我们接受语言所需的确定性 PDA，

L = { wcwR w ∈ (a, b)*}