离散结构或离散数学中的集合类型

在本文中，我们将讨论离散结构或离散数学中的集合类型。此外，我们将介绍示例。让我们一一讨论。

1. 部分有序集或 POSET ：
   偏序集 (POSET) 由具有以下三个二元关系的集合组成。
   • 自反关系 –每个元素都映射到自身的关系。
   • 反对称关系 –如果 (a, b) ∈ R 且 (b, a) ∈ R，则 a=b。
   • 传递关系 –如果 (a, b) ∈ R 和 (b, c) ∈ R 那么 (a, c) ∈ R)。

   例子 –
   设 A 是一个集合：A = {1, 2, 3}。

   Question-1 : 
   R1 = { } . 
   Is R1 a POSET?
   

   回答 –
   R1 不是 POSET，因为 R1 不是自反的。如果三个关系中的任何一个不可用，则它不是 POSET。

   Question-2 :
   R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} . 
   Is R2 a POSET?
   

   回答 –
   这是一个 POSET，因为 R2 是自反的、传递的以及反对称的。

   Question-3 : 
   R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} . 
   Is R3 a POSET?

   回答 –
   这不是 POSET，因为 R3 是自反的但不是反对称的。它实际上是对称的。所以它不能是一个 POSET。

2. 线性有序集：
   它也被称为链或全序集。它基本上是一个 POSET，其中给定的任何对 (x, y) 满足 x ≤ y 或 y ≤ x。或者我们可以说，如果“x三分法)，那么它就是一个线性有序集。

   例子 –
   一组具有自然顺序 ([R, ≤]) 的实数是一个线性有序集，因为首先它是一个 POSET，如果我们取任意两个实数，例如 (r1, r2) ∈ R 那么至少有任何一个以下三个陈述总是正确的：r1

3. 同构有序集：
   设 (A, ≤) 和 (B, ≤) 是两个偏序集，如果它们的“结构”完全相似，则称它们是同构的。

   例子 –
   设两个 POSETS，A = P({0, 1}) 按≤ 排序，B = {1, 2, 3, 6} 按除法关系排序，是同构有序集。

   解释 ：
   POSET A 的哈斯图 –

   A = { Φ, {0}, {1}, {0, 1} } with subset relation.

   

   POSET B 的哈斯图 –
   

   如果我们尝试定义地图。

   f( Φ ) = 1, f( {0} ) = 2, 
   f( {1} ) = 3 and f( {0, 1} ) = 6. 
   So both the sets are isomorphic. 
   Hence, they are Isomorphic Ordered Set.

4. 有序集：
   如果每个非空子集都有一个最少元素，则偏序集称为良序集。

   例子 –
   一组自然数和小于操作 ([N, ≤]) 那么它是一个良序集合，因为首先它是一个 POSET 并且如果我们取任何两个自然数，例如 n1 和 n2，其中 n1≤n2。这里，n1 是最小元素。所以，它是一个良序集。

   笔记 –

   • 任何有序的集合都是完全有序的。
   • 良序集合的每个子集都是良序的，具有相同的顺序。