门 | GATE CS 1999 |问题19

背景

该问题是GATE CS 1999年的一道编程题，主要考察了程序员的算法和数据结构能力，涉及到的知识点包括树、动态规划、递归等。

问题描述

有一扇大门，门有n个扇形板片，每个板片都可以采取两种状态：打开或关闭。在通过大门时，一个人可以选择敲击任意一扇板片，这样所有板片都会翻转到与其当前状态相反的状态上。例如，如果某个板片当前关闭，则按一下会使其打开。如此反复敲击某扇板片，则可以使大门向上旋转。你的任务是找出以最少的打开操作次数使得门向上旋转，并输出旋转的方案。

解题思路

该问题可以通过动态规划的方式解决。我们可以定义dp[i][j]为前j个扇形板片，通过敲击第j个扇形板片i次得到的最小的打开操作次数。则从dp[i-1]可以计算出dp[i]：

dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]+1)

其中，dp[i][j-1]表示不敲击第j个板片，只对前j-1个板片进行操作所需要的最小操作次数。而dp[i-1][j-1]+1表示敲击第j个板片，同时对前j-1个板片进行操作所需要的最小操作次数。

另外，我们可以通过递归的方式来输出旋转的方案。具体地，我们假设Rot[i][j]表示在进行dp[i][j]操作时要敲击的板片索引，则有：

Rot[i][j] = Rot[i][j-1], if dp[i][j] == dp[i][j-1]
Rot[i][j] = j, if dp[i][j] == dp[i-1][j-1]+1

以及，我们需要输出的方案为：

rotate j1 j2 ... jk

其中，j1到jk表示旋转过程中敲击的板片索引。

代码实现

下面是一个Python实现的代码片段：

# 输入门的板片数量
n = int(input().strip())

# 输入门板片的状态
status = input().strip().split()

# 初始化动态规划数组
dp = [[0]*(n+1) for _ in range(n+1)]

# 计算动态规划数组
for i in range(1, n+1):
    dp[0][i] = dp[0][i-1] + (status[i-1]=='open')
    for j in range(1, i+1):
        dp[j][i] = dp[j][i-1]
        if status[i-1] == 'open':
            dp[j][i] += (dp[j-1][i-1]+1)
        else:
            dp[j][i] += (dp[j-1][i-1]-1)
        dp[j][i] = min(dp[j-1][i]+1, dp[j][i])

# 输出最少的打开操作次数
print(dp[n][n])

# 输出旋转的方案
j_list = []
i, j = n, n
while i > 0 and j > 0:
    if dp[i][j] == dp[i][j-1]:
        j -= 1
    else:
        j_list.append(j)
        j -= 1
        i -= 1
j_list.reverse()
print('rotate', ' '.join(str(j) for j in j_list))

总结

该问题考察了程序员的算法和数据结构能力，其中动态规划和递归是解决该问题的关键。需要注意的是，在输出旋转的方案时，需要先将敲击板片的索引记录下来，再将其倒序输出。