UGC NET CS 2015 年六月 – II |问题 27 简介

本文主要介绍2015年6月国家资格考试计算机科学和应用专业硕士（UGC NET CS）第二份试题的第27道问题。该问题涉及到广义线性模型（Generalized Linear Models，GLMs）和DNA序列的翻译问题，需要使用编程技巧来解决。

问题描述

给定一个对称的条件概率矩阵 $P=(P_{i,j})$，它表示 $k$ 个不同的核苷酸与 $d$ 种不同的氨基酸之间的转换概率（例如，从 A 转换到 C 的概率为 $P_{A,C}$）。假设要翻译一条 DNA 序列，每个氨基酸由长度为 3 的连续核苷酸（称为“密码子”）编码。假设给定的 DNA 序列长度恰好为 3 倍的某个数，通过简单地将相应的密码子的转换概率相乘，可以将该 DNA 序列翻译成相应的氨基酸序列。容易证明，由于翻译不是一一的，这可以被表示为通过 GLMs 的组合。

给定一个条件概率矩阵 $P$ 和长度为 $n$ 的 DNA 序列 $s = s_1 s_2 \cdots s_n$，找到 $s$ 的所有可能的氨基酸序列中似然值最大的一个。假设转换过程遵循对称性，也就是 $P_{i,j}=P_{j,i}$ 对于所有满足 $i \in [1,k]$，$j \in [1,d]$ 且 $i \neq j$ 的 $i$ 和 $j$ 成立。此外，假设存在 $A \in [1,d]$，$A$ 在翻译时作为翻译的开始和结束标记（也就是说，$A$ 对应于氨基酸序列的第一个和最后一个氨基酸），并且每个密码子的第一个核苷酸必须翻译为 $A$。给定条件概率矩阵 $P$ 和字符串 $s$ ，试编写一个程序来计算 $s$ 的最大似然概率，同时返回翻译的氨基酸序列。

解决方案

这个问题可以通过使用动态规划算法来解决。具体地，我们可以定义一个 $[(n+1) \times d]$ 的矩阵 $V$，其中 $V_{i,j}$ 表示前缀 $s_{1,2,\cdots,i}$ 可以被翻译为以第 $i$ 个密码子结尾的氨基酸 $j$ 的最大似然概率。我们可以使用以下递归式对 $V$ 进行填充：

$$V_{1,j}=P_{A,s_1,j},\text{for all } j \in [1,d]$$

$$V_{i,j}=\max_{k=1}^{d} {V_{i-1,k} \cdot P_{k,s_{i-2,i-1},j}},\text{for all }i \in [2,\lfloor n/3 \rfloor+1], j \in [1,d]$$

其中 $\lfloor n/3 \rfloor+1$ 表示最后一个密码子对应的氨基酸。由于最后一个密码子并不一定包含在序列中，我们需要将其与转换矩阵中的每个可能氨基酸组合得到最大似然概率。

最后，翻译的最大似然氨基酸序列 $a$ 可以通过追踪计算矩阵 $V$ 并选择能够得到最大似然概率的位置，依据前缀合并得到。

以下是解决该问题的伪代码实现：

function translateDNAStrand(P, s):
    d = len(P[0])
    n = len(s)
    V = [[0.0] * d for i in range(n // 3 + 1)]

    # 初始化矩阵
    for j in range(d):
        V[0][j] = 1.0

    for i in range(1, n // 3 + 1):
        for j in range(d):
            max_prob = 0.0
            for k in range(d):
                prob = V[i - 1][k] * P[k][ord(s[(i - 1) * 3]) - 65][ord(s[(i - 1) * 3 + 1]) - 65][j]
                max_prob = max(max_prob, prob)
            V[i][j] = max_prob

    # 计算翻译氨基酸序列
    a = [0] * (n // 3)
    num_aa = 0
    prev = -1
    for i in range(1, n // 3 + 1):
        max_prob = 0.0
        best_j = -1
        for j in range(d):
            if i == 1 or j == prev:
                if V[i][j] > max_prob:
                    max_prob = V[i][j]
                    best_j = j
        a[num_aa] = best_j
        num_aa += 1
        prev = best_j

    return (max_prob, a)

其中 $P[k][i][j]$ 表示从密码子 $(k,i,j)$ 转换为氨基酸序列的概率。$ord(s_i)-65$ 是将 ASCII 编码转换为 0 到 3 的数字，其中 65 对应字符 'A'。

总结

本文主要介绍了 2015 年 6 月的 UGC NET CS 试题的第 27 道问题，涉及到广义线性模型和 DNA 序列的翻译。我们通过使用动态规划算法来解决问题，同时提供了使用 Python 实现该算法的伪代码。