组：

令G为具有二元运算*的非空集，该运算将G的每个元素对(a，b)分配给由a * b表示的G元素。我们说，如果满足以下三个属性，则G是在二进制运算*下的一个组：

1)关联性：二进制运算*是关联的，即a *(b * c)=(a * b)* c，∀a，b，c∈G

2)身份：在G中有一个元素e，称为身份，使得a * e = e * a = a，∀a∈G

3)逆：对于G中的每个元素a，G中都有一个元素b，称为a的逆，使得a * b = b * a = e，∀a，b∈G

注意：如果一个组具有a * b = b * a的属性，即交换律成立，则该组称为abelian。

组的属性：

以下定理可以理解组的基本特征：

定理1：

1.陈述：-在群G中，只有一个同一性元素(同一性唯一性)证明：-令e和e'是G中的两个恒等式，令a∈G

∴ae = a⟶(i)
∴ae'="a⟶(ii)

(i)和(ii)的RHS等于⇒ae= ae'

因此，根据左抵消定律，我们得到e = e'

对于任何a∈G，G中只有一个恒等元。因此证明了该定理。

2.陈述：-对于组G中的每个元素a，G中都有一个唯一元素b，使得ab = ba = e(如果为逆则唯一)

证明：-令b和c均为aa∈G的逆

然后ab = e和ac = e
=="" e}
="" {∵ac="ca}
" {∵b="eb}="" ∵c="ce" ⟹c="b">

因此，G的逆是唯一的。

定理2：-

1.陈述：-在群G中，(a ^-1 ) ^-1 = a，∀a∈G

证明：我们有aa ^-1 = a ^-1 a = e

其中e是G的标识元素

因此，一个是反向的^-1∈ģ

即(a ^-1 ) ^-1 = a，∀a∈G

2.陈述：在群G中，(ab ^-1 )= b ^-1 a ^-1 ，∀a，b∈G

证明：-通过关联，我们有

(b ^-1 a ^-1) ab = b ^-1 (a ^-1 a)b
⟹(b ^-1 a ^-1 )ab = b ^-1 (e)b {∵a ^-1 a = e}
⟹(b ^-1 a ^-1 )ab = b ^-1 b {∵eb= b}
⟹(b ^-1 a ^-1 )ab = e，{∵b ^-1 b = e}

相似地

(ab)(b ^-1 a ^-1 )= a(bb ^-1 )a ^-1
⟹(ab)(b ^-1 a ^-1 )= a(e)a ^-1
⟹(ab)(b ^-1 a ^-1 )= aa ^-1
⟹(ab)(b ^-1 a ^-1 )= e {∵aa ^-1 = e}
因此(b ^-1 a ^-1 )ab =(ab)(b ^-1 a ^-1 )= e
∴b ^-1 a ^-1是ab的倒数
即b ^-1 a ^-1 = ab ^-1

因此定理被证明。

定理3：

在组G中，左右抵消定律成立，即

(i)ab = ac表示b = c

(ii)ba = ca表示b = c

证明

(i)设ab = ac
两边都乘以^-1 ，我们得到
a ^-1 (ab)= a ^-1 (ac)
⟹(a ^-1 a)b =(a ^-1 a)c
⟹eb= ec
⟹b= c

(ii)设ba = ca
两边都乘以^-1
⟹(ba)a ^-1 =(ca)a ^-1
⟹b(aa ^-1 )= c(aa ^-1 )
⟹be= ce
⟹b= c

因此定理被证明。

有限无限组：

如果G是有限集，则一个组(G，*)称为有限组。

如果G是无限集，则一个组(G，*)被称为无限组。

示例1：组(I，+)是一个无限组，因为整数集I是一个无限集。

示例2：乘模8下的组G = {1,2,3,4,5,6,7}是有限组，因为集合G是有限集。

组的顺序：

组G的顺序是组G中的元素数。用| G |表示。一组订单1仅具有标识元素，即({e} *)。

一组2阶具有两个元素，即一个标识元素和一个其他元素。

示例1：令({e，x}，*)为2的一组。操作表如图1所示：

阶数为3的组具有三个元素，即一个标识元素和两个其他元素。