半组

让我们考虑一个代数系统(A，*)，其中*是对A的二元运算。然后，如果系统(A，*)满足以下性质，则称它为半群：

• *操作是对集合A的关闭操作。
• *是一个关联操作。

示例：考虑一个代数系统(A，*)，其中A = {1、3、5、7、9 ….}，这是一个正奇数整数，而*是二进制运算表示乘法。确定(A，*)是否为半群。

解决方案：闭包属性：*是闭合运算，因为两个+ ve奇数整数相乘是+ ve奇数。

关联属性：操作*是对集合A的关联操作。由于每个a，b，c∈A，我们有

(a * b)* c = a *(b * c)

因此，代数系统(A，*)是一个半群。

半小组：

考虑一个半群(A，*)并令B⊆A。然后，如果集合B在*操作下闭合，则系统(B，*)被称为半子群。

示例：考虑一个半群(N，+)，其中N是所有自然数的集合，而+是加法运算。代数系统(E，+)是(N，+)的一个子半群，其中E是一组+ ve个偶数整数。

免费半组：

考虑一个非空集合A = {a ₁ ，a ₂ ，….. a _n }。

现在，A *是A元素的所有有限序列的集合，即A *由可以从A的字母形成的所有单词组成。

如果α，β和γ是A *的任何元素，则α，(β。γ)=(α.β).γ。

这里的°是级联运算，是上面所示的关联运算。

因此(A *，°)是一个半群。该半群(A *，°)称为由集合A生成的自由半群。

半组产品：

定理：如果(S ₁ ，*)和(S ₂ ，*)是半群，则(S ₁ x S ₂ *)是半群，其中*由(s ₁ '，s ₂ ')*(s ₁ '定义'，s ₂ '')=(s ₁ '* s ₁ ''，s ₂ '* s ₂ '')。

证明：半群S ₁ x S ₂在运算*下是闭合的。

*的缔合性，让a，b，c∈S ₁ x S ₂

因此，a *(b * c)=(a ₁ ，a ₂ )*((b ₁ ，b ₂ )*(c ₁ ，c ₂ ))
=(a ₁ ，a ₂ )*(b ₁ * ₁ c ₁ ，b ₂ * ₂ c ₂ )
=(a ₁ * ₁ (b ₁ * ₁ c ₁ )，a ₂ * ₂ (b ₂ * ₂ c ₂ )
=(((a ₁ * ₁ b ₁ )* ₁ * ₁ ，(a ₂ * ₂ b ₂ )* ₂ c ₂ )
=(a ₁ * ₁ b ₁ ，a ₂ * ₂ b ₂ )*(c ₁ ，c ₂ )
=(((a ₁ ，a ₂ )*(b ₁ ，b ₂ ))*(c ₁ ，c ₂ )
=(a * b)* c。

由于*是封闭的和关联的。因此，S ₁ x S ₂是一个半群。

Monoid：

让我们考虑一个代数系统(A，o)，其中o是对A的二元运算。然后，如果系统(A，o)满足以下特性，则称该系统为等式：

• 操作o是对集合A的关闭操作。
• 运算o是关联运算。
• 存在一个标识元素，即操作o。

示例：考虑一个代数系统(N，+)，其中集合N = {0，1，2，3，4 …}。自然数和+的集合是加法运算。确定(N，+)是否为一个单面体。

解决方案：(a)闭包属性：由于两个自然数之和，因此+操作已关闭。

(b)关联性质：由于+具有(a + b)+ c = a +(b + c)∀a，b，c∈N，所以运算+是关联性质。

(c)身份：在集合N中存在一个身份元素+。元素0是标识元素，即+。由于操作+是封闭的，关联的，所以存在一个标识。因此，代数系统(N，+)是一个单曲面。

SubMonoid：

让我们考虑一个mono半群(M，o)，也让S⊆M。当且仅当(S，o)满足以下属性时，才称为(M，o)的子monoid：

• S在操作o下关闭。
• 存在一个恒等元素e∈T。

示例：让我们考虑一个单面体(M，*)，其中*是二进制运算，而M是所有整数的集合。然后(M _1，*)是一个子幺(M，*)，其中M ₁被定义为M ₁ = {A ^I│i是从0到n的正整数，和a∈M}。