哈斯图

这是一个有用的工具，它完全描述了相关的偏序。因此，它也称为订购图。将集合A上的关系的有向图转换为等效的Hasse图非常容易。因此，在绘制Hasse图时，必须记住以下几点。

• Hasse图中的顶点由点而不是圆表示。
• 由于偏序是自反的，因此A的每个顶点都必须与其自身相关，因此从顶点到其自身的边在Hasse图中被删除。
• 由于偏序是可传递的，因此无论何时aRb，bRc，我们都有aRc。消除Hasse图中传递属性所隐含的所有边缘，即从a到c删除边缘，但保留其他两个边缘。
• 如果顶点“ a”通过边即aRb连接到顶点“ b”，则顶点“ b”出现在顶点“ a”上方。因此，可以从哈西图中的边缘省略箭头。

哈斯图比偏序有向图简单得多。

示例：考虑集合A = {4，5，6，7}。令R为A上的关系≤。绘制R的有向图和Hasse图。

解决方案：集合A上的关系≤由下式给出：

R = {{4，5}，{4，6}，{4，7}，{5，6}，{5，7}，{6，7}，{4，4}，{5，5} ，{6，6}，{7，7}}

关系R的有向图如图所示：

要绘制偏序的Hasse图，请应用以下几点：

• 删除反身属性隐含的所有边，即(4，4)，(5，5)，(6，6)，(7，7)
• 删除传递属性隐含的所有边，即(4，7)，(5，7)，(4，6)
• 用点替换表示顶点的圆。
• 省略箭头。

哈斯图如图所示：

上限：将B视为部分有序集A的子集。如果每个y∈B的y≤x，则元素x∈A称为B的上限。

下界：假设B是部分有序集A的子集。如果z≤x对于每个x∈B，元素z∈A称为B的下界。

示例：考虑图A所示的位姿A = {a，b，c，d，e，f，g}。还令B = {c，d，e}。确定B的上限和下限。

解决方案： B的上限是e，f和g，因为B的每个元素都是'≤'e，f和g。

B的下限是a和b，因为a和b是B的每个元素“≤”。

最小上限(SUPREMUM)：

令A为部分有序集S的子集。如果M接替A的每个元素，则S中的元素M称为A的上限，即，对于A中的每个x，我们有x <= M

如果A的上限在A的所有其他上限之前，则称为A的上限，并用Sup(A)表示

最大下界(INFIMUM)：

如果m在A的每个元素之前，也就是说，如果对于A中的每个y，我们有m <= y，则表示集S中的元素m被称为S子集A的下界

如果A的下界在A的其他下界之后，则称为A的下界，并用Inf(A)表示

示例：确定其Hasse图如图所示的位姿B = {a，b，c}的最小上限和最大下限(如果存在)：

解决方案：最小上限为c。

最大下限是k。