使用代数操作确定极限

极限使我们能够近似函数并查看它们正在接近的值。极限不是函数在特定点的值。它是函数在向给定点移动时接近的值。求解极限的方法有很多，通常极限很容易求解，但有时它们会评估为不确定的形式，这些形式没有定义且难以估计。目标是避免这些形式并解决函数的限制。让我们看一些解决这些限制的代数方法。

限制

极限是函数或序列在输入或索引接近某个值时接近的值。这些概念在微积分和实分析中是必不可少的，因为它们帮助我们定义连续性、可微性和积分。在公式中，函数f(x) 在点 x = c 处的极限通常表示为：

$\lim_{x \to c} f(x)$

通常只有替换方法就足以计算限制。但有时某些限制可能会评估为不确定的形式。

不确定的形式

当限制涉及多个函数时，通常会遇到不确定的形式。它被定义为涉及两个或更多的表达式，其限制不能仅从单个函数中确定。

最常见的不定形式是由函数比的极限产生的， $\frac{f(x)}{g(x)}$ , 当两个函数都计算为 0 或 ∞ 时，生成形式的限制$\frac{0}{0}$要么$\frac{\infty}{\infty}$ .其他不定形式包括 0 x ∞, ∞ – ∞, 0 ^∞等。

某些代数方法可以帮助我们避免这些形式。

使用代数操作的限制

这些来自代数的技术可以帮助避免极限中的不确定形式。其中一些形式包括通过分解和有时合理化来评估限制。在三角函数的情况下，其他一些技巧，例如使用毕达哥拉斯恒等式或使用双角恒等式的三角极限可以帮助我们解决这些限制。

因式分解限制

通常，在由多项式组成的比率函数中，不定形式源于表达式中出现的因素之一。例如，在下面给出的函数f(x) 中，不确定形式是由于因子 (x – 1)。

$\lim_{x \to 1}\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 

在这种情况下，我们对这两个多项式进行因式分解，使公因式相消。

 $\lim_{x \to 1}\frac{x^2 - 1}{x - 1}$

⇒ $\lim_{x \to 1}\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$

⇒ $\lim_{x \to 1}(x + 1)$

⇒ $\lim_{x \to 1}(1 + 1)$

⇒ 2

合理化的限制

在这种方法中，通过函数合理化来处理不定形。

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 + 1}$ 

请注意，这会生成 ∞ – ∞ 的不确定形式。

在这种情况下，我们将表达式合理化。

 $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 + 1}$

⇒ $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 + 1})\frac{(\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 + 1})}{(\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 + 1})}$

⇒ $\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + x + 1 - (x^2 + 1))}{(\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 + 1})}$

⇒ $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{(\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 + 1})}$

⇒ $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{(x\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}})}$

⇒ $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{(\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}})}$

⇒ $\frac{1}{(\sqrt{1 + \frac{1}{\infty} + \frac{1}{\infty^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{\infty^2}})}$

⇒ $\frac{1}{2}$

使用毕达哥拉斯恒等式的三角极限

毕达哥拉斯恒等式由以下三个恒等式组成：

1. sin²x + cos²x = 1
2. 1 + tan²x = sec²x
3. 1 + cot²x = cosec²x

当三角函数显示不确定形式时，这些恒等式可用于在函数中进行替换。

双角标识

以下双角恒等式也可用于三角函数中的替换：

1. cos2x = 2cos²x – 1 = 1 – 2sin²x
2. sin2x = 2sinxcosx

让我们看看这些概念的一些例子。

示例问题

问题1：找出以下限制。

$\lim_{x \to 1}\frac{x^2 -3x + 2}{x^2 - 1}$

解决方案：

$\lim_{x \to 1}\frac{x^2 -3x + 2}{x^2 - 1}$

This limit is of the 0/0 form. Factorization can be used here.

$\lim_{x \to 1}\frac{x^2 -3x + 2}{x^2 - 1}$

⇒$\lim_{x \to 1}\frac{x^2 -2x -x + 2}{x^2 - 1^2}$

⇒$\lim_{x \to 1}\frac{x(x -2) -1(x - 2)}{(x- 1)(x + 1)}$

⇒$\lim_{x \to 1}\frac{(x - 1)(x -2)}{(x- 1)(x + 1)}$

⇒$\lim_{x \to 1}\frac{(x -2)}{(x + 1)}$

⇒$\lim_{x \to 1}\frac{(1 -2)}{(1 + 1)}$

⇒$\frac{-1}{2}$

问题2：找出以下限制。

$\lim_{x \to 2}\frac{x^2 -5x + 6}{x^2 -3x +2}$

解决方案：

$\lim_{x \to 2}\frac{x^2 -5x + 6}{x^2 -3x +2}$

This limit is of the 0/0 form. Factorization can be used here.

$\lim_{x \to 2}\frac{x^2 -5x + 6}{x^2 -3x +2}$

⇒$\lim_{x \to 2}\frac{x^2 -3x -2x + 6}{x^2 -x -2x +2}$

⇒$\lim_{x \to 2}\frac{(x -3)(x -2)}{(x -1)(x-2)}$

⇒$\lim_{x \to 2}\frac{(x -3)}{(x -1)}$

⇒$\lim_{x \to 2}\frac{(2 -3)}{(2 -1)}$

⇒ -1

问题3：找出以下限制。

$\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x} - 3}{x -9}$

解决方案：

$\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x} - 3}{x -9}$

This limit is of the indeterminate form. Rationalization can be used here.

$\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x} - 3}{x -9}\\=\lim_{x\to3}\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{(x-9)(\sqrt{x}+3)}\\=lim_{x\to3}\frac{(x-9)}{(x-9)(\sqrt{x}+9)}\\=lim_{x\to3}\frac{1}{\sqrt{x}+9}\\=\frac{1}{1.73+9}\\=\frac{1}{10.73}\\=0.0931$

问题4：找出极限，

$lim_{x\to2}\frac{x-2}{(\sqrt{x+2}-2)}$

解决方案：

Putting the limit x tends to 2 to see the value obtained,

$lim_{x\to2}\frac{x-2}{(\sqrt{x+2}-2)}\\=\frac{0}{0}\\$

= Undefined.

As, it is clear that the answer is undefined, rationalize the denominator,

$lim_{x\to2}\frac{x-2}{(\sqrt{x+2}-2)}\\=lim_{x\to2}\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}\\=lim_{x\to2}\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x-2)}\\=lim_{x\to2}\sqrt{x+2}+2\\=2+2=4$