9类NCERT解决方案-第9章平行四边形和三角形的区域–练习9.3 |套装1

本篇解决方案涵盖了 NCERT 第 9 类平行四边形和三角形的区域–练习9.3 的解题思路和方法。本篇解决方案分为以下几个部分，详见下文：

• 题目简介
• 解题思路
• 代码实现

题目简介

本节练习解决了如下平行四边形和三角形相关问题：

• 给出平行四边形的四个顶点，验证它是否为平行四边形；
• 给出平行四边形的四个顶点，验证它是否为菱形；
• 给出平行四边形的四个顶点，验证它是否为矩形；
• 给出平行四边形的四个顶点，验证它是否为正方形；
• 证明三角形的两边长大于第三边；
• 通过三角形的三条边长度验证三角形是什么类型；
• 验证三角形是否为等腰三角形；
• 验证三角形是否为等边三角形；
• 在三角形中使用角平分线定理

解题思路

1. 给出平行四边形的四个顶点，验证它是否为平行四边形

对于平行四边形，对角线会互相平分。因此，我们需要检查对角线是否互相平分。通过计算对于每个点，计算它到另外两个点的距离，可以确定对角线是否互相平分，从而确定是否为平行四边形。

2. 给出平行四边形的四个顶点，验证它是否为菱形

对于菱形，所有边长相等。因此，我们需要检查四个电路是否相等。计算每一对边的长度并检查它们是否相等，如果相等，则为菱形。

3. 给出平行四边形的四个顶点，验证它是否为矩形

对于矩形，它的对角线相等，并且四个角都是直角。首先，我们尝试通过前两步确认是否为平行四边形或菱形。一旦我们确认它是一个平行四边形或菱形，我们可以检查对角线的长度是否相等，并检查每个角是否为直角。

4. 给出平行四边形的四个顶点，验证它是否为正方形

对于正方形，所有的边长相等，并且它的对角线相等。首先，我们尝试通过前三步确认是否为矩形或菱形。一旦我们确认它是一个矩形或菱形，我们可以检查其对角线的长度是否相等，然后确认它是否为正方形。

5. 证明三角形的两边长大于第三边

三角形的性质之一是，任意两边的长度之和大于第三边的长度。我们可以对三个边进行计算，并检查它们是否符合这个规则。如果任意两边的长度之和都大于第三边长度，则符合这个规则。

6. 通过三角形的三条边长度验证三角形是什么类型

三角形的类型根据其边长可以分为以下几种类型：

• 等腰三角形：两边相等。
• 直角三角形：一边是直角（90 度）。
• 锐角三角形：所有角度小于 90 度。
• 钝角三角形：包含一个大于 90 度的角。

我们可以计算三个边的长度，并将它们分类为上述类型之一。

7. 验证三角形是否为等腰三角形

等腰三角形有两边相等，因此我们需要检查是否存在两条边相等。

8. 验证三角形是否为等边三角形

对于等边三角形，所有的边长相等。因此，我们需要检查三个边的长度是否均相等。

9. 在三角形中使用角平分线定理

如果一条直线穿过三角形的一个内角，那么它会将该角分成两个等角。我们可以通过计算三角形的角度，检查角平分线是否均分该角。

代码实现

下面给出本节练习中各个问题的解题代码在 Python 中的实现。

# 给出平行四边形的四个顶点，验证它是否为平行四边形
def is_parallelogram(points):
    d1 = distance(points[0], points[2])
    d2 = distance(points[1], points[3])
    d3 = distance(points[0], points[1])
    d4 = distance(points[2], points[3])
    if d1 == d2 and d3 == d4:
        return True
    else:
        return False

# 给出平行四边形的四个顶点，验证它是否为菱形
def is_rhombus(points):
    d1 = distance(points[0], points[2])
    d2 = distance(points[1], points[3])
    d3 = distance(points[0], points[1])
    d4 = distance(points[2], points[3])
    if d1 == d2 and d2 == d3 and d3 == d4:
        return True
    else:
        return False

# 给出平行四边形的四个顶点，验证它是否为矩形
def is_rectangle(points):
    if not is_parallelogram(points):
        return False
    d1 = distance(points[0], points[2])
    d2 = distance(points[1], points[3])
    if d1 == d2:
        return True
    else:
        return False

# 给出平行四边形的四个顶点，验证它是否为正方形
def is_square(points):
    if not is_rectangle(points):
        return False
    d1 = distance(points[0], points[2])
    d2 = distance(points[1], points[3])
    if d1 == d2:
        return True
    else:
        return False

# 证明三角形的两边长大于第三边
def is_triangle(a, b, c):
    if a + b > c and a + c > b and b + c > a:
        return True
    else:
        return False

# 通过三角形的三条边长度验证三角形是什么类型
def classify_triangle(a, b, c):
    angles = []
    angles.append(angle(a, b, c))
    angles.append(angle(b, c, a))
    angles.append(angle(c, a, b))
    angles.sort()
    if angles[2] == 90:
        return "Right"
    elif angles[2] > 90:
        return "Obtuse"
    elif angles[2] < 90 and angles[0] == angles[1]:
        return "Acute Isosceles"
    else:
        return "Acute Scalene"

# 验证三角形是否为等腰三角形
def is_isosceles_triangle(a, b, c):
    if a == b or b == c or a == c:
        return True
    else:
        return False

# 验证三角形是否为等边三角形
def is_equilateral_triangle(a, b, c):
    if a == b and b == c:
        return True
    else:
        return False

# 在三角形中使用角平分线定理
def is_angle_bisector(a, b, c):
    if angle(a, b, c) == angle(b, a, c) and distance(a, c) / distance(b, c) == distance(a, b) / distance(b, c):
        return True
    else:
        return False

def distance(p1, p2):
    return ((p2[0]-p1[0])**2 + (p2[1]-p1[1])**2) ** 0.5

def angle(a, b, c):
    cos_theta = (a**2 + b**2 - c**2) / (2*a*b)
    theta = math.acos(cos_theta)
    return math.degrees(theta)

# 代码中的 points 参数是一个包含 4 个坐标点 ([x, y]) 的列表。
# 对于问题 5，6 和 9，输入的是三角形的三边长度。