算法测验 | SP竞赛3 | 问题4

简介

这是一道SP竞赛第三题的算法测验题目，考察程序员对于贪心算法和动态规划算法的理解和应用。题目描述为：给定一组线段，计算出这组线段覆盖所需的最小长度。这个问题可以用贪心算法和动态规划算法来解决。

题目描述

有 $n$ 条线段 $[l_i, r_i]$， 现在需要在这些线段中选择尽量少的线段，使得每个点都至少被一条线段覆盖。求覆盖所有点所需的最少线段数。

解题思路

贪心算法

贪心算法是一种取得最优解的策略。这个问题的贪心算法思路是：首先，按照线段的右端点进行排序。然后，从左到右依次遍历线段，每次选择右端点最靠左的未被选中的线段。如果两个线段的右端点相同，我们选择左端点在前的那个线段。

这种策略的证明可以考虑反证法：假设存在一种更优的策略，该策略在其中一个位置 $i$ 与上述策略不一致，选择了区间 $[l_j, r_j]$ 而不是 $[l_k, r_k]$。

这里考虑区间 $[l_j, r_j]$，在区间 $[l_j, r_j]$ 中，可以将贪心算法选择的 $[l_k, r_k]$（$r_k = r_j$）替换掉。由于区间 $[l_k, r_k]$ 与区间 $[l_j, r_j]$ 的右端点相同，也就是说，选择任意一个都不会让后面的区间被覆盖不了。选择 $[l_j, r_j]$ 会使答案减少 $1$。

这个与题目描述矛盾，因为上述贪心策略已经选出的线段需要覆盖所有点，所以不可能存在一种更优的策略。

动态规划算法

动态规划算法是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。将这个问题转化为 dp 问题，其中 $dp[i]$ 表示前 $i$ 个线段所需的最少长度。

首先，初始化 $\operatorname{dp}[0] = 0$。然后，对于 $i \in [1,n]$，考虑将区间 $[l_i, r_i]$ 覆盖的情况：

• 如果区间 $[l_i, r_i]$ 没有被覆盖，那么需要添加一条线段使其被覆盖，$\operatorname{dp}[i] = \operatorname{dp}[i-1]+1$。
• 如果区间 $[l_i, r_i]$ 被已经选中的某条线段完全覆盖了，那么 $\operatorname{dp}[i] = \operatorname{dp}[i-1]$。
• 如果区间 $[l_i, r_i]$ 只被某条线段覆盖了一部分，那么它不能被其他线段覆盖，还需要添加一条线段使其被覆盖。这个时候，需要从之前的线段中选择一个线段，使其左端点小于 $l_i$，同时，右端点尽量远。设这个线段为 $[l_j, r_j]$，则 $\operatorname{dp}[i] = \operatorname{dp}[j-1]+1$。

综上所述，可以得到如下的状态转移方程：

$$ \operatorname{dp}[i] = \begin{cases} \operatorname{dp}[i-1]+1 & \text{if} \ [l_i, r_i] \ \text{not covered} \ \operatorname{dp}[i-1] & \text{if} \ [l_i, r_i] \ \text{covered completely}\ \operatorname{dp}[j-1]+1 & \text{if} \ [l_i, r_i] \ \text{partially covered, choose the best j} \ \end{cases} $$

其中，$j$ 需要满足 $j < i$ 且 $[l_j, r_j]$ 覆盖的区间尽量长。

最终的答案就是 $\operatorname{dp}[n]$。

参考代码

贪心算法的代码片段如下：

segments.sort(key=lambda x: (x[1], x[0]))
ans = []
r = -0x3f3f3f3f
for l, seg_r in segments:
    if l > r:
        ans.append(seg_r)
        r = seg_r

print(len(ans))

动态规划算法的代码片段如下：

segments.sort()
dp = [0] * (n + 1)
for i in range(1, n + 1):
    dp[i] = dp[i-1] + 1 
    j = i - 1
    while j > 0 and segments[i-1][0] <= segments[j-1][1]:
        j -= 1
    if j > 0 and dp[i] > dp[j-1] + 1:
        dp[i] = dp[j-1] + 1

print(dp[n])