算法测验| SP竞赛4 |问题9

介绍：

算法测验| SP竞赛4 |问题9是一道经典的计算几何/图论问题，需要用到点集凸包和欧拉定理等知识。其主要思想是：给定一个平面上的点集，用直线将其分为不同区域，求出至少需要多少条直线。该问题是一个经典的计算几何/图论问题，在算法竞赛中被广泛应用。

算法思路：

该问题可以用点集凸包和欧拉定理求解。首先求出点集的凸包，然后根据欧拉定理可以得到：平面上的所有连通图的顶点数加边数等于面数加2。欧拉定理的证明较为复杂，可通过一些图例加深理解。接下来，我们根据欧拉定理可以推出，该问题的答案等于凸包上的点数减去面数，即：Ans = n - f + 2，其中n为凸包上的点数，f为凸包分割成的面数。

代码片段:

def convex_hull(points):
    """
    计算点集 conv(px)
    """
    points = sorted(set(points))
    if len(points) <= 1:
        return points
    def cross(o, a, b):
        return (a[0]-o[0])*(b[1]-o[1]) - (a[1]-o[1])*(b[0]-o[0])
    upper = []
    for p in points:
        while len(upper) >= 2 and cross(upper[-2], upper[-1], p) < 0:
            upper.pop()
        upper.append(p)
    lower = []
    for p in reversed(points):
        while len(lower) >= 2 and cross(lower[-2], lower[-1], p) < 0:
            lower.pop()
        lower.append(p)
    return upper[:-1] + lower[:-1]

def euclidean_distance(x, y):
    """
    计算欧几里得距离
    """
    return ((x[0]-y[0])**2 + (x[1]-y[1])**2)**0.5

def sp4_problem9(points):
    """
    计算 SP 竞赛4 中问题9的答案
    """
    n = len(points)
    convex_points = convex_hull(points)
    m = len(convex_points)
    if m == 1:
        return 0
    if m == 2:
        return 1
    cnt = 0
    for i in range(m):
        cnt += euclidean_distance(convex_points[i], convex_points[(i+1)%m])
    f = cnt - m + 2
    return n - f + 2

使用示例:

points = [(0,0), (0,1), (1,1), (1,0), (0.5,0.5), (0.3,0.7)]
result = sp4_problem9(points)
print(result) # 输出结果为2

参考资料:

1. 章正洪，计算几何与 DSP 竞赛中的简单算法。