算法测验 | SP竞赛4 | 问题1

这个问题是SP竞赛的第四轮中的一个问题，要求参赛选手编写一个程序，用于解决以下问题：

给定一个整数n，计算所有大小为n x n的1和0矩阵的数量，使得每一行和每一列的和都是偶数。

这是一个非常典型的组合问题，可以使用递归或迭代算法解决。下面是一个示例实现，使用递归算法：

def count_matrices(n):
    # 如果n为偶数，则有（2 ^ n / 2)个偶数（包括0和n）和（2 ^ n / 2)个奇数
    # 如果n为奇数，则有0个偶数和2 ^ n个奇数
    if n % 2 == 1:
        return 0
    elif n == 0:
        return 1
    else:
        result = 0
        for i in range(2 ** (n // 2)):
            for j in range(2 ** (n // 2)):
                # 每一行的和为偶数，每一列的和也为偶数
                if bin(i ^ j).count("1") % 2 == 0:
                    result += count_matrices(n // 2) ** 2
        return result

这个算法的时间复杂度为O(2 ^ n)，因为它需要枚举所有可能的1和0的位置。可以使用记忆法来优化这个算法并减少重复计算。如果定义一个字典来存储已经计算的结果，可以将时间复杂度降到O(n ^ 2)。

这是一个非常有挑战性的问题，需要深入理解组合和递归算法。如果你正在准备编程竞赛或算法面试，这个问题是一个非常好的练习题目。