算法测验 | SP竞赛3 | 问题8

概述

本题中，需要对矩阵进行一系列的操作，使得矩阵最终的对角线上的元素之和最小。本题可以采用贪心算法解决。

算法思路

考虑对矩阵进行一些基本的变换，同时保证矩阵的对角线元素不改变。具体的变换方式可以参考下面的图示：

通过这样的变换，我们可以将原始矩阵变换成一个三角形矩阵。然后考虑从对角线上的第二个元素开始，依次向右下方寻找一个最小的元素，将这个元素与当前位置的元素进行交换。重复这个过程，直到对角线上的元素全部处理完毕。

代码实现

下面是问题8的Python实现代码片段：

# 初始化矩阵
n = int(input().strip())
matrix = [list(map(int, input().strip().split())) for _ in range(n)]

# 进行矩阵变换，得到三角形矩阵
for i in range(n - 1):
    for j in range(i + 1, n):
        matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]

# 对角线元素排序
for i in range(1, n):
    for j in range(i, n):
        if matrix[j][j] < matrix[i - 1][i - 1]:
            matrix[i - 1][i - 1], matrix[j][j] = matrix[j][j], matrix[i - 1][i - 1]

# 输出结果
print(sum([matrix[i][i] for i in range(n)]))

结论

通过以上算法，可以得到一个时间复杂度为 $O(n^2)$ 的解决方案，可以在短时间内得到矩阵对角线元素之和的最小值。