离散数学-计数理论

离散数学是计算机科学中的重要基础学科之一，而计数理论则是离散数学中的重要分支。计数理论主要研究的是如何统计给定条件下的个数，是算法设计过程中必不可少的知识点之一。

基本概念

• 置换：对于集合$[n]={1,2,\dots,n}$的一种排列称为置换，通常用$\sigma$表示，写成$\sigma=(\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(n))$。
• 逆置换：若$\sigma=(\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(n))$是$[n]$的一个置换，那么$\sigma$的逆置换为$\sigma^{-1}=(\sigma^{-1}(1),\sigma^{-1}(2),\dots,\sigma^{-1}(n))$，其中$\sigma^{-1}(i)$表示数$i$在$\sigma$中的位置。
• 轮换：设$\sigma$是$[n]$的一个置换，如果存在一些正整数$k_1,k_2,\dots,k_t$，满足$k_1+k_2+\dots+k_t=n$，且对于$1\leq i\leq t$，有$\sigma(j)=j+k_i(\bmod n)$对$j\in{1,2,\dots,k_i}$成立，那么$\sigma$称为$t$个$k_1,k_2,\dots,k_t$的轮换。
• 循环指数：设$\sigma$是$[n]$的一个置换，$l(\sigma)$表示$\sigma$的轮换个数，$len(\sigma)$表示$\sigma$的轮换长度的最小公倍数，$k(\sigma)=\frac{n}{len(\sigma)}$为$\sigma$的循环指数。

计数方法

• 乘法原理：若有$m$个事件，每个事件有$n_i$种可能，那么这$m$个事件组成的复合事件，共有$n_1\times n_2\times\dots\times n_m$种可能。

• 加法原理：若一个事件可以分为$k$个不相交的子事件，且每个子事件有$n_i$种可能，那么该事件有$n_1+n_2+\dots+n_k$种可能。

• 排列：$n$个元素中选$k$个元素进行排列的方案数为$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘，$(n-k)!$表示$(n-k)$的阶乘。

• 组合：$n$个元素中选$k$个元素进行组合的方案数为$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$。

• 容斥原理：对于$n$个集合的 Union，设集合$A$至少被选了$a$次，集合$B$至少被选了$b$次，$\dots$，集合$N$至少被选了$n$次，那么计算式子如下：

  $$\left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right|=\sum_{S\subseteq{1,2,\dots,n}} (-1)^{|S|-1} \left|\bigcap_{i\in S} A_i\right|$$

常见问题

Q1：从$n$个元素中选出$k$个元素进行排列/组合，并且这$k$个元素要满足一些限制条件，如何计算方案数？

A1：这种情况下我们通常需要使用容斥原理来计算方案数。先计算出从$n$个元素中选出$k$个元素的所有方案数，再减去其中有不合法的方案数，加上其中有两个或更多个不合法的方案数，$\dots$，最后根据容斥原理得到答案。

Q2：对$n$个元素进行排列/组合，但是排列/组合的结果不能出现某些元素，如何计算方案数？

A2：这种情况下我们通常需要使用下面的步骤：

1. 先计算出$n$个元素进行排列/组合的所有方案数；
2. 计算出指定元素都不在排列/组合结果中的方案数；
3. 用总方案数减去不合法的方案数，得到合法的方案数。

Q3：计数时遇到超大数怎么办？

A3：在计算过程中，可适当使用斯特林公式、逆元、容斥原理等方法来避免超出计算机存储范围导致的溢出错误。如果无法避免溢出，可使用高精度库实现计算，但要注意时间复杂度的影响。