📅 最后修改于: 2021-01-08 06:07:14 🧑 作者: Mango
在日常生活中，很多时候需要找出一系列事件的所有可能结果的数量。例如，可以从50名男性和38名女性中选出6名男性和4名女性组成的评审团吗?可以生成多少个不同的10个字母PAN数字，以使前五个字母为大写字母，接下来的四个为数字，最后一个再次为大写字母。为了解决这些问题，使用了计数的数学理论。计数主要包括基本计数规则，置换规则和组合规则。
“求和规则”和“乘积规则”用于将困难计数问题分解为简单问题。
求和规则-如果可以分别以$ w_1，w_2，\ dots w_m $的方式完成一系列任务$ T_1，T_2，\ dots，T_m $(条件是不能同时执行任务)，则完成这些任务之一的方法是$ w_1 + w_2 + \ dots + w_m $。如果我们考虑两个不相交的任务A和B(即$ A \ cap B = \ emptyset $)，则在数学上$ | A \ cup B | = | A | + | B | $
产品规则-如果可以分别以$ w_1，w_2，\ dots w_m $的方式完成一系列任务$ T_1，T_2，\ dots，T_m $，并且每个任务在上一个任务发生后到达， $ w_1 \ times w_2 \ times \ dots \ times w_m $执行任务的方式。数学上，如果任务B在任务A之后到达，则$ | A \ times B | = | A | \ times | B | $
问题-一个男孩住在X，想去Z的学校。从他的家X，他必须先到达Y，然后Y到Z。他可以通过3条公交路线或2条火车路线到达X到Y。从那里，他可以选择4条巴士路线或5条火车路线到达Z。从X到Z有多少种路线?
解决方案-从X到Y，他可以采用$ 3 + 2 = 5 $的方式(总和)。此后，他可以用$ 4 + 5 = 9 $的方式将Y转换为Z(规则之和)。因此，从X到Z，他可以采用$ 5 \乘以9 = 45 $的方式(乘积规则)。
排列是顺序重要的某些元素的排列。换句话说，排列是元素的有序组合。
从集合S = {x，y，z}开始，每次取两个，所有排列为-
$ xy，yx，xz，zx，yz，zy $。
我们必须从一组数字$ S = \ lbrace 1，2，3 \ rbrace $中形成一个三位数的排列。当我们排列数字时，将形成三个不同的数字。排列将为= 123、132、213、231、312、321
一次取’r’的’n’个不同事物的排列数量用$ n_ {P_ {r}} $表示
$$ n_ {P_ {r}} = \ frac {n！} {(n-r)！} $$
$ n！ = 1.2.3。 \ dots(n-1).n $
证明-让“ n”个不同的元素。
有n种方法可以填补第一名。填充第一个(n-1)位后，剩下的元素数量仍然很多。因此，有(n-1)种方法可以填补第二名。填充第一和第二位后，剩下(n-2)个元素。因此，有(n-2)种方法可以填补第三名。现在，我们可以将填充第r位的方法数量概括为[n –(r–1)] = n–r + 1
所以，总数没有。从第一名到第r名的填充方式-
$ n_ {P_ {r}} = n(n-1)(n-2)…..(nr + 1)$
$ = [n(n-1)(n-2)…(nr + 1)] [(nr)(nr-1)\ dots 3.2.1] / [(nr)(nr-1)\ dots 3.2.1] $
因此，
$ n_ {P_ {r}} = n！ /(nr)！$
如果存在n个元素，其中$ a_1 $相似，则$ a_2 $相似。 $ a_3 $是第三类，依此类推，而$ a_r $是$ r ^ {th} $类，其中$(a_1 + a_2 + … a_r)= n $。
那么，这n个对象的排列数为= $ n！ / [(a_1！(a_2！)\ dots(a_r！)] $。
一次取n个元素的n个不同元素的排列数= $ n_ {P_n} = n！$
当x个特定事物始终占据确定位置时，n个异类元素一次包含r个元素的排列数= $ n-x_ {p_ {rx}} $
当r个指定的事物始终在一起时，n个互不相同的元素的排列数为− $ r！ (n-r + 1)！$
当r个指定的事物永不在一起时，n个互不相同的元素的排列数为− $ n！– [r！ (n-r + 1)！] $
n个不同元素在时间x元素上取的n个元素的循环排列数= $ ^ np_ {x} / x $
n个不同事物的循环排列数= $ ^ np_ {n} / n $
问题1-从一堆6张不同的卡片中，我们可以用多少种方法进行排列?
解决方案-因为我们从6张纸牌中一次取6张纸牌，所以排列将是$ ^ 6P_ {6} = 6！ = 720 $
问题2- “读者”一词的字母排列方式是多少?
解决方案-单词’READER’中有6个字母的单词(2 E，1 A，1D和2R。)。
排列将是$ = 6！ / \：[(2！)(1！)(1！)(2！)] = 180. $
问题3-如何以橙色字母排列字母，使辅音仅占据偶数位置?
解决方案-“ ORANGE”一词中有3个元音和3个辅音。 $ = ^ 3P_ {3} = 3的子音排列方式！ = 6 $。剩下的3个空位将由$$ 3P_ {3} = 3的3个元音填充！ = 6 $种方式。因此，排列的总数为$ 6 \乘以6 = 36 $
组合是顺序无关紧要的某些给定元素的选择。
一次取r的n个事物的所有组合的数量为-
$$ ^ nC_ {{r}} = \ frac {n！ } {r！(nr)！ } $$
问题1
查找具有3个元素的集合$ \ lbrace1、2、3、4、5、6 \ rbrace $的子集数量。
解
集合的基数为6，我们必须从集合中选择3个元素。在这里，顺序无关紧要。因此，子集的数量将为$ ^ 6C_ {3} = 20 $。
问题2
一间房间有6名男性和5名女性。我们可以通过几种方式从房间中选择3名男性和2名女性?
解
从6位男性中选择3位男性的方式为$ ^ 6C_ {3} $，从5位女性中选择2位女性的方式为$ ^ 5C_ {2} $
因此，总数为− $ ^ 6C_ {3} \ times ^ 5C_ {2} = 20 \ times 10 = 200 $
问题3
您可以从总共9名学生中选择3种不同的小组，每组3名学生?
解
让我们将组编号为1、2和3
对于第1组选择3个学生，路数-$ ^ 9C_ {3} $
选择第一组后选择第二组3名学生的方式的数量-$ ^ 6C_ {3} $
$ ^ 3C_ {3} $ -的方式供选择1和第2次组之后，选择3个学生第三组号码
因此，总数为$ = ^ 9C_ {3} \ times ^ 6C_ {3} \ times ^ 3C_ {3} = 84 \ times 20 \ times 1 = 1680 $
帕斯卡的身份，首先由帕斯卡在17衍生世纪，指出的方法来选择从n个元素k个元素的数目等于方式数的总和，以选择从第(n-1)单元(k-1)的元素以及从n-1个元素中选择元素的方式数量。
数学上，对于任何正整数k和n：$ ^ nC_ {k} = ^ n {^-} ^ 1C_ {k-1} + ^ n {^-} ^ 1 {C_k} $
证明–
$$ ^ n {^-} ^ 1C_ {k-1} + ^ n {^-} ^ 1 {C_k} $$
$ = \ frac {(n-1)！ } {(k-1)！(nk)！ } + \ frac {(n-1)！ } {k！(nk-1)！ } $
$ =(n-1)！(\ frac {k} {k！(nk)！} + \ frac {nk} {k！(nk)！})$
$ =(n-1)！ \ frac {n} {k！(nk)！ } $
$ = \ frac {n！ } {k！(nk)！ } $
$ = n_ {C_ {k}} $
1834年，德国数学家Peter Gustav Lejeune Dirichlet提出了一个被称为抽屉原理的原理。现在，它被称为信鸽原理。
鸽子洞原则规定，如果鸽子洞的数量少于鸽子总数，并且每只鸽子都放入一个鸽子洞，则必须至少有一个鸽子洞和一个以上的鸽子。如果将n羽鸽子放进n个> m的m个鸽子洞中，就会有一个洞，里面有一只以上的鸽子。
一个房间里有十个人，他们正在握手。如果每个人至少握手一次，并且没有一个人多次握手同一个人，那么两个男人握手次数相同。
30名班级中必须至少有两个人的名字以相同的字母开头。
包含-排除原理计算多个不相交集的并集的基数。对于两组A和B，原理陈述为-
$ | A \ cup B | = | A | + | B | -| A \ cap B | $
对于三组A，B和C，原理陈述为-
$ | A \ cup B \ cup C | = | A | + | B | + | C | -| A \ cap B | -| A \ cap C | -| B \ cap C | + | A \ cap B \ cap C | $
广义公式-
$ | \ bigcup_ {i = 1} ^ {n} A_i | = \ sum \ limits_ {1 \ leq i 问题1 1到50之间有多少个整数是2或3的倍数，但不能同时是两者的整数? 解 从1到100，有$ 50/2 = 25 $个数字，是2的倍数。 $ 50/3 = 16 $数字是3的倍数。 $ 50/6 = 8 $数字是2和3的倍数。 因此，$ | A | = 25 $，$ | B | = 16 $和$ | A \ cap B | = 8 $。 $ | A \ cup B | = | A | + | B | -| A \ cap B | = 25 + 16-8 = 33 $ 问题2 在一组50名学生中，有24名喜欢冷饮，36名喜欢热饮，每个学生都喜欢至少两种饮料中的一种。有多少人喜欢咖啡和茶? 解 令X为喜欢冷饮的学生，Y为喜欢热饮的学生。 因此，$ | X \杯Y | = 50 $，$ | X | = 24 $，$ | Y | = 36 $ $ | X \ cap Y | = | X | + | Y | -| X \ cup Y | = 24 + 36-50 = 60-50 = 10 $ 因此，有10名学生同时喜欢茶和咖啡。