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📜  统计-伽马分布

📅  最后修改于: 2021-01-23 06:37:24             🧑  作者: Mango

伽玛分布表示两参数族的连续概率分布。一般用三种参数组合来设计伽玛分布。

  • 形状参数$ k $和比例参数$ \ theta $。

  • 形状参数$ \ alpha = k $和反比例尺参数$ \ beta = \ frac {1} {\ theta} $，称为速率参数。

  • 形状参数$ k $和平均参数$ \ mu = \ frac {k} {\ beta} $。

伽玛分布

每个参数都是一个正实数。伽玛分布是由以下准则驱动的最大熵概率分布。

式

$ {E [X] = k \ theta = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ gt 0 \，并且\已固定。 \\ [7pt] E [ln(X)] = \ psi(k)+ ln(\ theta)= \ psi(\ alpha)-ln(\ beta)\，并且\是固定的。 } $

哪里-

  • $ {X} $ =随机变量。

  • $ {\ psi} $ = digamma函数。

使用形状$ \ alpha $和速率$ \ beta $进行表征

概率密度函数

Gamma分布的概率密度函数为：

式

$ {f(x; \ alpha，\ beta)= \ frac {\ beta ^ \ alpha x ^ {\ alpha-1} e ^ {-x \ beta}} {\ Gamma(\ alpha)} \其中\ x \ ge 0 \和\ \ alpha，\ beta \ gt 0} $

哪里-

  • $ {\ alpha} $ =位置参数。

  • $ {\ beta} $ =比例参数。

  • $ {x} $ =随机变量。

累积分布函数

Gamma分布的累积分布函数为：

式

$ {F(x; \ alpha，\ beta)= \ int_0 ^ xf(u; \ alpha，\ beta)du = \ frac {\ gamma(\ alpha，\ beta x)} {\ Gamma(\ alpha)} } $

哪里-

  • $ {\ alpha} $ =位置参数。

  • $ {\ beta} $ =比例参数。

  • $ {x} $ =随机变量。

  • $ {\ gamma(\ alpha，\ beta x)} $ =较低的不完整伽玛函数。

使用形状$ k $和比例$ \ theta $进行表征

概率密度函数

Gamma分布的概率密度函数为：

式

$ {f(x; k，\ theta)= \ frac {x ^ {k-1} e ^ {-\ frac {x} {\ theta}}} {\ theta ^ k \ Gamma(k)} \其中\ x \ gt 0 \和\ k，\ theta \ gt 0} $

哪里-

  • $ {k} $ =形状参数。

  • $ {\ theta} $ =比例参数。

  • $ {x} $ =随机变量。

  • $ {\ Gamma(k)} $ =以k计算的伽马函数。

累积分布函数

Gamma分布的累积分布函数为：

式

$ {F(x; k，\ theta)= \ int_0 ^ xf(u; k，\ theta)du = \ frac {\ gamma(k，\ frac {x} {\ theta})}} {\ Gamma(k )}} $

哪里-

  • $ {k} $ =形状参数。

  • $ {\ theta} $ =比例参数。

  • $ {x} $ =随机变量。

  • $ {\ gamma(k，\ frac {x} {\ theta})} $ =较低的不完整伽玛函数。